Class 12 Semester 4 Mathematics Question Paper with Solution PDF 2025-26
উচ্চমাধ্যমিক দ্বাদশ শ্রেণীর চতুর্থ সেমিস্টারের গণিত প্রশ্নপত্র উত্তরসহ ২০২৫-২৬ শিক্ষাবর্ষের জন্য এখানে PDF আকারে দেওয়া হলো। এই পোস্টে প্রশ্নপত্রের প্রতিটি অঙ্কের সঠিক ও ধাপে ধাপে সমাধান সহজ ভাষায় উপস্থাপন করা হয়েছে, যাতে শিক্ষার্থীরা নিজেদের উত্তর মিলিয়ে নিতে পারে এবং ভুলগুলি সংশোধন করতে পারে। Class 12 Semester 4 Mathematics Question Paper with Solution PDF 2025-26 পরীক্ষার প্রস্তুতি, দ্রুত পুনরাবৃত্তি এবং অঙ্কের সমাধান অনুশীলনের জন্য বিশেষভাবে সহায়ক হবে।
১. দুটি প্রশ্নের মধ্যে যে-কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও:
A) যদি ভেক্টর \vec{\alpha}=a\hat{i}+a\hat{j}+c\hat{k}, \vec{\beta}=\hat{i}+\hat{k} এবং \vec{\gamma}=c\hat{i}+c\hat{j}+b\hat{k} একতলীয় হয়, তাহলে প্রমাণ করো: c^2=ab
অতএব, \vec{\alpha}\cdot(\vec{\beta}\times\vec{\gamma})=0
এখন, \vec{\beta}\times\vec{\gamma} =\begin{vmatrix} \hat{i}&\hat{j}&\hat{k}\\ 1&0&1\\ c&c&b \end{vmatrix}
=\hat{i}(0\cdot b-1\cdot c)-\hat{j}(1\cdot b-1\cdot c)+\hat{k}(1\cdot c-0\cdot c) =-c\hat{i}+(c-b)\hat{j}+c\hat{k}সুতরাং, \vec{\alpha}\cdot(\vec{\beta}\times\vec{\gamma}) =(a\hat{i}+a\hat{j}+c\hat{k})\cdot[-c\hat{i}+(c-b)\hat{j}+c\hat{k}]
=-ac+a(c-b)+c^2 =-ac+ac-ab+c^2 =c^2-abকিন্তু, ভেক্টর তিনটি একতলীয় হওয়ায়, c^2-ab=0
অতএব, \boxed{c^2=ab}
সুতরাং, প্রমাণিত।
B) যদি \vec{a}=4\hat{i}-\hat{j}+\hat{k} এবং \vec{b}=2\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k} হয়, তবে \vec{a}+\vec{b} ভেক্টরের সমান্তরাল একক ভেক্টর নির্ণয় কর।
\vec{a}=4\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}
এবং, \vec{b}=2\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}
সুতরাং, \vec{a}+\vec{b}=(4+2)\hat{i}+(-1-2)\hat{j}+(1+1)\hat{k}
=6\hat{i}-3\hat{j}+2\hat{k}এখন, |\vec{a}+\vec{b}|=\sqrt{6^2+(-3)^2+2^2}
=\sqrt{36+9+4}=\sqrt{49}=7অতএব, \vec{a}+\vec{b}-এর সমান্তরাল একক ভেক্টর,
\hat{n}=\frac{\vec{a}+\vec{b}}{|\vec{a}+\vec{b}|} =\frac{1}{7}(6\hat{i}-3\hat{j}+2\hat{k})সুতরাং, \boxed{\hat{n}=\frac{6}{7}\hat{i}-\frac{3}{7}\hat{j}+\frac{2}{7}\hat{k}}
২. দুটি প্রশ্নের মধ্যে যে-কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও:
A) যদি \frac{x-2}{3}=\frac{y+1}{-2\lambda}=\frac{z-2}{0} এবং \frac{x-1}{1}=\frac{2y+3}{3\lambda}=\frac{z+5}{2} সরলরেখা দুটি পরস্পর লম্ব হয়, তবে \lambda-এর মান(গুলি) নির্ণয় কর।
সরলরেখার সাধারণ রূপ, \frac{x-x_1}{l}=\frac{y-y_1}{m}=\frac{z-z_1}{n}
এখানে দিক অনুপাত হলো, l=3,\quad m=-2\lambda,\quad n=0
অতএব, প্রথম সরলরেখার দিক ভেক্টর, \vec{d}_1=3\hat{i}-2\lambda\hat{j}+0\hat{k}
এখন দ্বিতীয় সরলরেখাটি হলো, \frac{x-1}{1}=\frac{2y+3}{3\lambda}=\frac{z+5}{2}
এখানে y-এর লব্ধাংশকে সাধারণ আকারে লিখি। \frac{2y+3}{3\lambda} =\frac{2\left(y+\frac{3}{2}\right)}{3\lambda} =\frac{y+\frac{3}{2}}{\frac{3\lambda}{2}}
সুতরাং দ্বিতীয় সরলরেখাটি, \frac{x-1}{1} =\frac{y+\frac{3}{2}}{\frac{3\lambda}{2}} =\frac{z+5}{2}
অতএব, দ্বিতীয় সরলরেখার দিক অনুপাত হলো, 1,\frac{3\lambda}{2},2
ভগ্নাংশ দূর করার জন্য 2 দ্বারা গুণ করলে সমতুল্য দিক অনুপাত পাই, 2,3\lambda,4
অতএব, দ্বিতীয় সরলরেখার দিক ভেক্টর, \vec{d}_2=2\hat{i}+3\lambda\hat{j}+4\hat{k}
সরলরেখা দুটি পরস্পর লম্ব হলে তাদের দিক ভেক্টরের ডট গুণফল শূন্য হবে।
অর্থাৎ, \vec{d}_1\cdot\vec{d}_2=0
তাই, (3\hat{i}-2\lambda\hat{j}+0\hat{k})\cdot(2\hat{i}+3\lambda\hat{j}+4\hat{k})=0
ডট গুণনের নিয়ম অনুযায়ী, (3)(2)+(-2\lambda)(3\lambda)+(0)(4)=0
এখন প্রতিটি পদ হিসাব করি, 6-6\lambda^2+0=0
অতএব, 6-6\lambda^2=0
উভয় পাশে 6 দ্বারা ভাগ করলে, 1-\lambda^2=0
অর্থাৎ, \lambda^2=1
উভয় পাশে বর্গমূল করলে, \lambda=\pm1
সুতরাং, \boxed{\lambda=1\text{ অথবা }\lambda=-1}
অতএব, \lambda-এর মান 1 এবং −1
B) 2x+2y-2z+1=0 তলটি (2,1,5) এবং (3,4,3) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক রেখাংশকে কী অনুপাতে বিভক্ত করে তা নির্ণয় কর।
Section Formula অনুযায়ী, x=\frac{m(3)+n(2)}{m+n}
y=\frac{m(4)+n(1)}{m+n} z=\frac{m(3)+n(5)}{m+n}এখন R বিন্দুটি প্রদত্ত তলের উপর অবস্থিত।
অতএব, 2x+2y-2z+1=0
স্থানাঙ্কগুলির মান বসিয়ে পাই,
2\left(\frac{3m+2n}{m+n}\right)+2\left(\frac{4m+n}{m+n}\right)-2\left(\frac{3m+5n}{m+n}\right)+1=0উভয় পাশে (m+n) দ্বারা গুণ করলে,
2(3m+2n)+2(4m+n)-2(3m+5n)+(m+n)=0এখন বন্ধনী খুলে পাই, 6m+4n+8m+2n-6m-10n+m+n=0
অর্থাৎ, 9m-3n=0
অতএব, 9m=3n
উভয় পাশে 3 দ্বারা ভাগ করলে, 3m=n
সুতরাং, \boxed{m:n=1:3}
অতএব, প্রদত্ত তলটি সংযোজক রেখাংশটিকে 1 : 3 অনুপাতে বিভক্ত করে।
৩. দুটি প্রশ্নের মধ্যে যে-কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও:
A) a ও b-এর কোন মানগুলির জন্য নিম্নলিখিত গাণিতিক অভিব্যক্তিটি সত্য হবে? \int\frac{dx}{1+\sin x}=\tan\left(\frac{x}{2}+a\right)+b
প্রথমে বামপক্ষের সমাকলন করি।
\int\frac{dx}{1+\sin x}লব ও হরকে (1-\sin x) দ্বারা গুণ করলে,
=\int\frac{1-\sin x}{1-\sin^2x}\,dx =\int\frac{1-\sin x}{\cos^2x}\,dx =\int(\sec^2x-\sec x\tan x)\,dxঅতএব, =\tan x-\sec x+C
এখন, \tan x-\sec x =\frac{\sin x}{\cos x}-\frac{1}{\cos x}
=\frac{\sin x-1}{\cos x}এখন \sin x-1 ও \cos x-কে অর্ধকোণ সূত্রে প্রকাশ করি।
\sin x-1=2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}-\left(\sin^2\frac{x}{2}+\cos^2\frac{x}{2}\right) =-\left(\cos\frac{x}{2}-\sin\frac{x}{2}\right)^2আবার, \cos x=\cos^2\frac{x}{2}-\sin^2\frac{x}{2}
=\left(\cos\frac{x}{2}-\sin\frac{x}{2}\right)\left(\cos\frac{x}{2}+\sin\frac{x}{2}\right)সুতরাং, \frac{\sin x-1}{\cos x} =\frac{-\left(\cos\frac{x}{2}-\sin\frac{x}{2}\right)} {\cos\frac{x}{2}+\sin\frac{x}{2}}
=\frac{\sin\frac{x}{2}-\cos\frac{x}{2}} {\sin\frac{x}{2}+\cos\frac{x}{2}}লব ও হরকে \cos\frac{x}{2} দ্বারা ভাগ করলে,
=\frac{\tan\frac{x}{2}-1}{\tan\frac{x}{2}+1}এখন, \tan\left(A-B\right)=\frac{\tan A-\tan B}{1+\tan A\tan B} সূত্র প্রয়োগ করে,
=\tan\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4}\right)অতএব, \int\frac{dx}{1+\sin x} =\tan\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4}\right)+C
প্রদত্ত রাশির সঙ্গে তুলনা করে পাই, \tan\left(\frac{x}{2}+a\right)+b =\tan\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4}\right)+C
সুতরাং, \boxed{a=-\frac{\pi}{4}}
এবং b একটি সমাকলন ধ্রুবক।
অতএব, \boxed{a=-\frac{\pi}{4},\quad b=C}
যেখানে C একটি যেকোনো ধ্রুবক।
B) মান নির্ণয় করো: \int_{-1}^{1}e^{|x|}\,dx
যেহেতু, |x|=\begin{cases}-x,&-1\leq x<0\\x,&0\leq x\leq1\end{cases}
তাই, I=\int_{-1}^{0}e^{-x}\,dx+\int_{0}^{1}e^x\,dx
প্রথম সমাকলন:
\int_{-1}^{0}e^{-x}\,dx=\left[-e^{-x}\right]_{-1}^{0} =(-e^0)-(-e^{-(-1)}) =-1+e=e-1দ্বিতীয় সমাকলন:
\int_{0}^{1}e^x\,dx=\left[e^x\right]_{0}^{1} =e^1-e^0=e-1অতএব, I=(e-1)+(e-1)
=2e-2=2(e-1)সুতরাং, \boxed{\int_{-1}^{1}e^{|x|}\,dx=2(e-1)}
৪. দুটি প্রশ্নের মধ্যে যে-কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও:
A) y=\sqrt{x}, 2y-x+3=0 এবং প্রথম চতুর্ভুজে অবস্থিত অক্ষদ্বয়ের দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।
এবং, 2y-x+3=0
অর্থাৎ, x=2y+3
আবার, y=\sqrt{x} থেকে পাই,
x=y^2
প্রথমে বক্ররেখা ও সরলরেখার ছেদবিন্দু নির্ণয় করি।
y^2=2y+3অথবা, y^2-2y-3=0
(y-3)(y+1)=0যেহেতু অঞ্চলটি প্রথম চতুর্ভুজে অবস্থিত, তাই y=3
অতএব, y-এর সীমা 0 থেকে 3
এখন, 0\leq y\leq3-এর জন্য ডানদিকের সীমা হলো x=2y+3 এবং বামদিকের সীমা হলো x=y^2।
সুতরাং আবদ্ধ ক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল,
A=\int_0^3\left[(2y+3)-y^2\right]dy =\left[y^2+3y-\frac{y^3}{3}\right]_0^3 =\left[9+9-\frac{27}{3}\right]-0 =9+9-9 =9অতএব, আবদ্ধ ক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল \boxed{9} বর্গ একক।
B) y=\sin^2x বক্রের যে অঞ্চল x=0, x=\pi কোটিদ্বয় এবং x-অক্ষ দ্বারা সীমাবদ্ধ তার ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।
এখানে x=0 থেকে x=\pi পর্যন্ত x-অক্ষের উপরে বক্ররেখাটি অবস্থিত।
সুতরাং, আবদ্ধ ক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল, A=\int_0^\pi\sin^2x\,dx
আমরা জানি, \sin^2x=\frac{1-\cos2x}{2}
অতএব, A=\int_0^\pi\frac{1-\cos2x}{2}\,dx
=\frac{1}{2}\int_0^\pi(1-\cos2x)\,dx =\frac{1}{2}\left[x-\frac{\sin2x}{2}\right]_0^\pi =\frac{1}{2}\left[\pi-\frac{\sin2\pi}{2}-\left(0-\frac{\sin0}{2}\right)\right] =\frac{\pi}{2}অতএব, আবদ্ধ ক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল \boxed{\frac{\pi}{2}} বর্গ একক।
৫. দুটি প্রশ্নের মধ্যে যে-কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও:
A) যে বৃত্তগুলি, মূলবিন্দুতে কেন্দ্র বিশিষ্ট ও একক ব্যাসার্ধের বৃত্ত ও যে সরলরেখা প্রথম পাদকে সমদ্বিখণ্ডিত করে তাদের ছেদবিন্দুগামী, সেই সকল বৃত্তগুলির অবকল সমীকরণ নির্ণয় করো।
প্রথম পাদকে সমদ্বিখণ্ডিতকারী সরলরেখার সমীকরণ: L\equiv x-y=0
আমরা জানি, S=0 বৃত্ত ও L=0 সরলরেখার ছেদবিন্দুগামী যেকোনো বৃত্তের পরিবারের সমীকরণ, S+\lambda L=0
অতএব, x^2+y^2-1+\lambda(x-y)=0 … (1)
এখানে \lambda একটি ইচ্ছামূলক ধ্রুবক।
(1) নং সমীকরণকে x-এর সাপেক্ষে অবকলন করে পাই,
2x+2y\frac{dy}{dx}+\lambda\left(1-\frac{dy}{dx}\right)=0অতএব, \lambda=\frac{-\left(2x+2y\frac{dy}{dx}\right)}{1-\frac{dy}{dx}} … (2)
(2) নং থেকে \lambda-এর মান (1) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
(x^2+y^2-1)-\frac{2x+2y\frac{dy}{dx}}{1-\frac{dy}{dx}}(x-y)=0উভয় পক্ষকে \left(1-\frac{dy}{dx}\right) দ্বারা গুণ করে পাই,
(x^2+y^2-1)\left(1-\frac{dy}{dx}\right)-(2x+2y\frac{dy}{dx})(x-y)=0 \implies (x^2+y^2-1)-(x^2+y^2-1)\frac{dy}{dx}-2x(x-y)-2y(x-y)\frac{dy}{dx}=0পদগুলি সাজিয়ে পাই, \left[(x^2+y^2-1)+2y(x-y)\right]\frac{dy}{dx}=(x^2+y^2-1)-2x(x-y)
\implies (x^2+2xy-y^2-1)\frac{dy}{dx}=-x^2+2xy+y^2-1অতএব, \left(x^2+2xy-y^2-1\right)\frac{dy}{dx}+x^2-2xy-y^2+1=0
সুতরাং, নির্ণেয় অবকল সমীকরণ, \left(x^2+2xy-y^2-1\right)\frac{dy}{dx}+x^2-2xy-y^2+1=0
B) সমাধান করো \frac{dy}{dx}=e^{x-y}+x^2\cdot e^{-y}
উভয় পক্ষকে e^y দ্বারা গুণ করে পাই, e^y\frac{dy}{dx}=e^x+x^2
এখন উভয় পক্ষকে x-এর সাপেক্ষে সমাকলন করি, \int e^y\frac{dy}{dx}\,dx=\int(e^x+x^2)\,dx
\implies \int e^y\,dy=\int e^x\,dx+\int x^2\,dx \implies e^y=e^x+\frac{x^3}{3}+Cঅতএব, নির্ণেয় সমাধান, \boxed{e^y=e^x+\frac{x^3}{3}+C}
৬. দুটি প্রশ্নের মধ্যে যে-কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও:
A) একটি রৈখিক প্রোগ্রাম বিধি সমস্যার ক্ষেত্রে উত্তল বহুভুজাকার কার্যকরী অঞ্চলের কৌণিক বিন্দুগুলি (0,0), (0,4), (2,3) ও (5,0) হলে বিষয়াত্মক অপেক্ষক Z=3x+4y-এর সর্বাধিক মান প্রাপ্ত হবে যে কৌণিক বিন্দুতে তা নির্ণয় করো।
কার্যকরী অঞ্চলের কৌণিক বিন্দুগুলিতে Z-এর মান নির্ণয় করি।
কৌণিক বিন্দু (0,0)-এ:
Z=3(0)+4(0)=0কৌণিক বিন্দু (0,4)-এ:
Z=3(0)+4(4)=16কৌণিক বিন্দু (2,3)-এ:
Z=3(2)+4(3)=6+12=18কৌণিক বিন্দু (5,0)-এ:
Z=3(5)+4(0)=15অতএব, Z_{\max}=18
এবং এই সর্বাধিক মানটি কৌণিক বিন্দু \boxed{(2,3)}-এ প্রাপ্ত হবে।
সুতরাং, সর্বাধিক মান \boxed{18}
B) একজন আসবাবপত্রের ডিলার মাত্র দুটি আইটেম টেবিল এবং চেয়ার-এর ব্যবসা করে। তার কাছে বিনিয়োগের জন্য 5,000 টাকা আছে এবং সর্বাধিক 60 টি আসবাব রাখার জন্য স্থান আছে। প্রতিটি টেবিল ও চেয়ার পিছু তার খরচ যথাক্রমে 250 টাকা ও 60 টাকা। রৈখিক প্রোগ্রামবিধির সমস্যাটির শর্তগুলি গাণিতিকভাবে প্রকাশ করো।
প্রতিটি টেবিলের জন্য খরচ = 250 টাকা এবং প্রতিটি চেয়ারের জন্য খরচ = 60 টাকা।
মোট বিনিয়োগের পরিমাণ সর্বাধিক 5,000 টাকা।
সুতরাং, 250x+60y\leq5000
অথবা, 25x+6y\leq500 … (1)
আসবাব রাখার সর্বাধিক স্থান = 60টি।
অতএব, x+y\leq60 … (2)
আবার, টেবিল ও চেয়ারের সংখ্যা ঋণাত্মক হতে পারে না।
সুতরাং, x\geq0,\qquad y\geq0 … (3)
অতএব, রৈখিক প্রোগ্রামবিধির সমস্যাটির গাণিতিক শর্তগুলি হলো,
25x+6y\leq500,\quad x+y\leq60,\quad x\geq0,\quad y\geq0
৭. দুটি প্রশ্নের মধ্যে যে-কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও:
A) যে সামান্তরিকের দুটি সন্নিহিত বাহু \hat{i} এবং \hat{i}+\hat{j} ভেক্টর দ্বারা সূচিত হয় সেটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।
এবং, \vec{b}=\hat{i}+\hat{j}
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = দুটি সন্নিহিত বাহুর ভেক্টরের ক্রস গুণফলের মান।
অতএব, \text{ক্ষেত্রফল}=|\vec{a}\times\vec{b}|
=|\hat{i}\times(\hat{i}+\hat{j})| =|\hat{i}\times\hat{i}+\hat{i}\times\hat{j}|আমরা জানি, \hat{i}\times\hat{i}=0,\qquad \hat{i}\times\hat{j}=\hat{k}
সুতরাং, |\vec{a}\times\vec{b}|=|\hat{k}|=1
অতএব, সামান্তরিকটির ক্ষেত্রফল \boxed{1} বর্গ একক।
B) \vec{a},\vec{b},\vec{c} তিনটি একক ভেক্টর হলে, প্রমাণ করো যে, |\vec{a}-\vec{b}|^2+|\vec{b}-\vec{c}|^2+|\vec{c}-\vec{a}|^2\leq 9।
প্রদত্ত, \vec{a},\vec{b},\vec{c} তিনটি একক ভেক্টর।
অতএব,
|\vec{a}|=|\vec{b}|=|\vec{c}|=1আমরা জানি, যেকোনো ভেক্টরের মানের বর্গ অঋণাত্মক। তাই,
|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|^2\geq0অতএব,
(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})\cdot(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})\geq0 \implies |\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2+|\vec{c}|^2+2(\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{b}\cdot\vec{c}+\vec{c}\cdot\vec{a})\geq0একক ভেক্টরের মান বসিয়ে পাই,
3+2(\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{b}\cdot\vec{c}+\vec{c}\cdot\vec{a})\geq0অতএব,
2(\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{b}\cdot\vec{c}+\vec{c}\cdot\vec{a})\geq-3 … (1)
এখন,
LHS=|\vec{a}-\vec{b}|^2+|\vec{b}-\vec{c}|^2+|\vec{c}-\vec{a}|^2 =(|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2-2\vec{a}\cdot\vec{b})+(|\vec{b}|^2+|\vec{c}|^2-2\vec{b}\cdot\vec{c})+(|\vec{c}|^2+|\vec{a}|^2-2\vec{c}\cdot\vec{a}) =2(|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2+|\vec{c}|^2)-2(\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{b}\cdot\vec{c}+\vec{c}\cdot\vec{a}) =6-2(\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{b}\cdot\vec{c}+\vec{c}\cdot\vec{a})(1) নং অসমতা থেকে,
LHS\leq6-(-3) \implies LHS\leq9অতএব,
\boxed{|\vec{a}-\vec{b}|^2+|\vec{b}-\vec{c}|^2+|\vec{c}-\vec{a}|^2\leq9}সুতরাং, প্রমাণিত।
৮. দুটি প্রশ্নের মধ্যে যে-কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও:
A) সমাকলন করো : \int\frac{dx}{\tan x+\cot x+\sec x+\cosec x}
এখন, \tan x+\cot x=\frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\cos x}{\sin x}=\frac{\sin^2x+\cos^2x}{\sin x\cos x}=\frac{1}{\sin x\cos x}
এবং, \sec x+\cosec x=\frac{1}{\cos x}+\frac{1}{\sin x}=\frac{\sin x+\cos x}{\sin x\cos x}
অতএব, I=\int\frac{dx}{\frac{1+\sin x+\cos x}{\sin x\cos x}}
=\int\frac{\sin x\cos x}{1+\sin x+\cos x}\,dxএখন, \sin x+\cos x-1 দ্বারা লবকে প্রকাশ করি।
\frac{\sin x\cos x}{1+\sin x+\cos x}=\frac{\sin x+\cos x-1}{2}কারণ, (\sin x+\cos x-1)(\sin x+\cos x+1)=2\sin x\cos x
সুতরাং, I=\frac{1}{2}\int(\sin x+\cos x-1)\,dx
=\frac{1}{2}(-\cos x+\sin x-x)+Cঅতএব, \boxed{I=\frac{\sin x-\cos x-x}{2}+C}
B) সমাকলন করো : \int\frac{dx}{\sin(x-\alpha)\cos(x-\beta)}, যেখানে \alpha,\beta দুটি ধ্রুবক।
প্রদত্ত সমাকলন,
I=\int\frac{dx}{\sin(x-\alpha)\cos(x-\beta)}লব ও হরকে \cos(\alpha-\beta) দ্বারা গুণ করি।
যেহেতু,
(x-\beta)-(x-\alpha)=\alpha-\betaসুতরাং,
I=\sec(\alpha-\beta)\int\frac{\cos[(x-\beta)-(x-\alpha)]}{\sin(x-\alpha)\cos(x-\beta)}\,dxআমরা জানি,
\cos(A-B)=\cos A\cos B+\sin A\sin Bঅতএব,
I=\sec(\alpha-\beta)\int\frac{\cos(x-\beta)\cos(x-\alpha)}{\sin(x-\alpha)\cos(x-\beta)}\,dx +\sec(\alpha-\beta)\int\frac{\sin(x-\beta)\sin(x-\alpha)}{\sin(x-\alpha)\cos(x-\beta)}\,dxঅতএব,
I=\sec(\alpha-\beta)\int\cot(x-\alpha)\,dx +\sec(\alpha-\beta)\int\tan(x-\beta)\,dxএখন,
\int\cot(x-\alpha)\,dx=\ln|\sin(x-\alpha)|এবং,
\int\tan(x-\beta)\,dx=-\ln|\cos(x-\beta)|অতএব,
I=\sec(\alpha-\beta)\ln|\sin(x-\alpha)| -\sec(\alpha-\beta)\ln|\cos(x-\beta)|+Cঅর্থাৎ,
I=\sec(\alpha-\beta)\left[\ln|\sin(x-\alpha)|-\ln|\cos(x-\beta)|\right]+C
সুতরাং,
I=\sec(\alpha-\beta)\ln\left|\frac{\sin(x-\alpha)}{\cos(x-\beta)}\right|+Cঅতএব,
\int\frac{dx}{\sin(x-\alpha)\cos(x-\beta)}=\sec(\alpha-\beta)\ln\left|\frac{\sin(x-\alpha)}{\cos(x-\beta)}\right|+C
৯. দুটি প্রশ্নের মধ্যে যে-কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও:
A) সমাধান করো : x\,dy+y\,dx+y^2(x\,dy-y\,dx)=0।
পদগুলি সাজিয়ে পাই, x(1+y^2)\,dy+y(1-y^2)\,dx=0
অতএব, x(1+y^2)\,dy=-y(1-y^2)\,dx
অথবা, \frac{dx}{x}=-\frac{1+y^2}{y(1-y^2)}\,dy
এখন, \frac{1+y^2}{y(1-y^2)}=\frac{1}{y}+\frac{2y}{1-y^2}
সুতরাং, \frac{dx}{x}=-\left(\frac{1}{y}+\frac{2y}{1-y^2}\right)dy
উভয় পক্ষকে সমাকলন করে পাই,
\int\frac{dx}{x}=-\int\frac{dy}{y}-\int\frac{2y}{1-y^2}\,dy \implies\ln|x|=-\ln|y|+\ln|1-y^2|+Cঅতএব, \ln\left|\frac{xy}{1-y^2}\right|=C
সুতরাং, \boxed{\frac{xy}{1-y^2}=C}
B) সমাধান করো : \left(\sin y+y\sin x+\frac{1}{x}\right)dx+\left(x\cos y-\cos x+\frac{1}{y}\right)dy=0।
ধরি, M=\sin y+y\sin x+\frac{1}{x}
এবং, N=x\cos y-\cos x+\frac{1}{y}
এখন, \frac{\partial M}{\partial y}=\cos y+\sin x
এবং, \frac{\partial N}{\partial x}=\cos y+\sin x
অতএব, \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}
সুতরাং, প্রদত্ত সমীকরণটি একটি সঠিক অবকল সমীকরণ (Exact Differential Equation)।
এখন M-কে x-এর সাপেক্ষে সমাকলন করি।
\int M\,dx=\int\left(\sin y+y\sin x+\frac{1}{x}\right)dx =x\sin y-y\cos x+\ln|x|+\phi(y)অতএব, সমাধান হবে,
x\sin y-y\cos x+\ln|x|+\phi(y)=Cএখন উভয় পক্ষকে y-এর সাপেক্ষে আংশিক অবকলন করে N-এর সঙ্গে তুলনা করি।
\frac{\partial}{\partial y}\left(x\sin y-y\cos x+\ln|x|+\phi(y)\right)=x\cos y-\cos x+\phi'(y)এটি N=x\cos y-\cos x+\frac{1}{y}-এর সমান।
অতএব, \phi'(y)=\frac{1}{y}
সুতরাং, \phi(y)=\ln|y|
অতএব, সাধারণ সমাধান, x\sin y-y\cos x+\ln|x|+\ln|y|=C
অথবা, \boxed{x\sin y-y\cos x+\ln|xy|=C}
১০. দুটি প্রশ্নের মধ্যে যে-কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও:
A) লেখচিত্রের সাহায্যে নিম্নলিখিত রৈখিক প্রোগ্রাম বিধি সমস্যাটির সমাধান করো এবং অভীষ্ট অপেক্ষক Z-এর অবম মান নির্ণয় করো। (ছক কাগজের প্রয়োজন নেই) Z=3x+5y শর্ত সাপেক্ষে x+3y\geq3 x+y\geq2 এবং x,y\geq0
x+y\geq2 … (2)
এবং, x\geq0,\ y\geq0
লেখচিত্রের জন্য সরলরেখা:
x+3y=3অক্ষদ্বয়ের ছেদবিন্দু: A(3,0) এবং B(0,1)।
x+y=2অক্ষদ্বয়ের ছেদবিন্দু: C(2,0) এবং D(0,2)।
দুটি সরলরেখার ছেদবিন্দু নির্ণয় করি:
x+3y=3 … (3)
x+y=2 … (4)
(3) − (4) থেকে,
2y=1\implies y=\frac{1}{2}(4)-এ বসিয়ে,
x+\frac{1}{2}=2 x=\frac{3}{2}অতএব, ছেদবিন্দু,
E\left(\frac{3}{2},\frac{1}{2}\right)মূলবিন্দু (0,0) উভয় অসমতাকে সিদ্ধ করে না। তাই কার্যকরী অঞ্চলটি উভয় সরলরেখার উপরের দিকে অবস্থিত এবং এটি একটি সীমহীন (Unbounded) অঞ্চল।
কার্যকরী অঞ্চলের কৌণিক বিন্দুগুলি হলো,
D(0,2),\quad E\left(\frac{3}{2},\frac{1}{2}\right),\quad A(3,0)কৌণিক বিন্দুগুলিতে Z-এর মান:
১. D(0,2) বিন্দুতে:
Z=3(0)+5(2)=10২. E\left(\frac{3}{2},\frac{1}{2}\right) বিন্দুতে:
Z=3\left(\frac{3}{2}\right)+5\left(\frac{1}{2}\right) =\frac{9}{2}+\frac{5}{2}=7৩. A(3,0) বিন্দুতে:
Z=3(3)+5(0)=9সীমহীন অঞ্চলের জন্য অবম মান যাচাই:
যেহেতু কার্যকরী অঞ্চলটি সীমহীন, তাই Z=7 সত্যিই সর্বনিম্ন মান কি না তা যাচাই করি।
অবম মান 7-এর চেয়ে কম হলে,
3x+5y<7 … (5)
আবার, শর্ত x+y\geq2 থেকে,
3x+5y=3(x+y)+2y \geq3(2)+2yযেহেতু y\geq0,
3x+5y\geq6+2y\geq6এতে সরাসরি Z\geq6 পাওয়া যায়, কিন্তু 7 যে সর্বনিম্ন তা নিশ্চিত করতে দুটি শর্ত একসঙ্গে বিবেচনা করি।
শর্তদ্বয় থেকে, x+3y\geq3 এবং x+y\geq2
প্রথমটি থেকে x\geq3-3y এবং দ্বিতীয়টি থেকে x\geq2-y।
0\leq y\leq\frac{1}{2} হলে x\geq3-3y, তাই
Z=3x+5y\geq3(3-3y)+5y=9-4y\geq7এবং y\geq\frac{1}{2} হলে,
Z=3x+5y\geq3(2-y)+5y=6+2y\geq7অতএব, কার্যকরী অঞ্চলের প্রতিটি বিন্দুর জন্য,
Z\geq7এবং E\left(\frac{3}{2},\frac{1}{2}\right) বিন্দুতে Z=7 পাওয়া যায়।
সুতরাং, \boxed{Z_{\min}=7}
এবং এই অবম মানটি \boxed{\left(\frac{3}{2},\frac{1}{2}\right)} বিন্দুতে প্রাপ্ত হয়।
B) লেখচিত্রের মাধ্যমে প্রদত্ত রৈখিক প্রোগ্রাম বিধি সমস্যাটির সমাধান করো (ছক কাগজের প্রয়োজন নেই) : Z=5x+7y-এর চরম মান নির্ণয় করো। শর্ত সাপেক্ষে x+y\leq4,3x+8y\leq24 , 10x+7y\leq35 , x,y\geq0
x+y\leq4 … (1)
3x+8y\leq24 … (2)
10x+7y\leq35 … (3)
এবং, x\geq0,\ y\geq0
লেখচিত্রের জন্য সরলরেখাগুলি: x+y=4
অক্ষদ্বয়ের ছেদবিন্দু: (4,0) এবং (0,4)।
3x+8y=24অক্ষদ্বয়ের ছেদবিন্দু: (8,0) এবং (0,3)।
10x+7y=35অক্ষদ্বয়ের ছেদবিন্দু: \left(\frac{7}{2},0\right) এবং (0,5)।
মূলবিন্দু (0,0) তিনটি অসমতাই সিদ্ধ করে। তাই মূলবিন্দু-সহ সাধারণ অংশটিই কার্যকরী অঞ্চল।
কৌণিক বিন্দু নির্ণয়:
অক্ষের উপর কৌণিক বিন্দু দুটি হলো,
O(0,0)এবং, A\left(\frac{7}{2},0\right)
কারণ 10x+7y\leq35 থেকে x\leq\frac{7}{2}।
y-অক্ষের উপর সর্বোচ্চ বিন্দু হলো,
B(0,3)কারণ 3x+8y\leq24 থেকে y\leq3।
প্রথম ও দ্বিতীয় সরলরেখার ছেদবিন্দু:
x+y=4 … (4)
3x+8y=24 … (5)
(4) থেকে,
x=4-y(5)-এ বসিয়ে,
3(4-y)+8y=24 12-3y+8y=24 5y=12 y=\frac{12}{5}সুতরাং,
x=4-\frac{12}{5}=\frac{8}{5}অতএব,
C\left(\frac{8}{5},\frac{12}{5}\right)প্রথম ও তৃতীয় সরলরেখার ছেদবিন্দু:
x+y=4 … (6)
10x+7y=35 … (7)
(6) থেকে,
y=4-x(7)-এ বসিয়ে,
10x+7(4-x)=35 10x+28-7x=35 3x=7 x=\frac{7}{3}সুতরাং,
y=4-\frac{7}{3}=\frac{5}{3}অতএব,
D\left(\frac{7}{3},\frac{5}{3}\right)দ্বিতীয় ও তৃতীয় সরলরেখার ছেদবিন্দু \left(\frac{112}{59},\frac{135}{59}\right) হলেও সেখানে x+y=\frac{247}{59}>4। তাই এটি কার্যকরী অঞ্চলের অন্তর্ভুক্ত নয়।
অতএব, কার্যকরী অঞ্চলের কৌণিক বিন্দুগুলি হলো,
O(0,0), A\left(\frac{7}{2},0\right), D\left(\frac{7}{3},\frac{5}{3}\right),
C\left(\frac{8}{5},\frac{12}{5}\right), B(0,3)
কৌণিক বিন্দুগুলিতে Z-এর মান নির্ণয়:
১. O(0,0) বিন্দুতে:
Z=5(0)+7(0)=0২. A\left(\frac{7}{2},0\right) বিন্দুতে:
Z=5\left(\frac{7}{2}\right)+7(0)=\frac{35}{2}৩. D\left(\frac{7}{3},\frac{5}{3}\right) বিন্দুতে:
Z=5\left(\frac{7}{3}\right)+7\left(\frac{5}{3}\right) =\frac{35}{3}+\frac{35}{3}=\frac{70}{3}৪. C\left(\frac{8}{5},\frac{12}{5}\right) বিন্দুতে:
Z=5\left(\frac{8}{5}\right)+7\left(\frac{12}{5}\right) =8+\frac{84}{5}=\frac{124}{5}৫. B(0,3) বিন্দুতে:
Z=5(0)+7(3)=21অতএব, কৌণিক বিন্দুগুলির মধ্যে সর্বনিম্ন মান,
\boxed{Z_{\min}=0}
যা \boxed{(0,0)} বিন্দুতে প্রাপ্ত হয়।
এবং সর্বোচ্চ মান,
\boxed{Z_{\max}=\frac{124}{5}}
যা \left(\frac{8}{5},\frac{12}{5}\right) বিন্দুতে প্রাপ্ত হয়।
সুতরাং, Z-এর চরম মান হলো,
\boxed{Z_{\min}=0,\qquad Z_{\max}=\frac{124}{5}}
১১. চারটি প্রশ্নের মধ্যে যে-কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও:
A) দুটি সরলরেখার দিক কোসাইনগুলি a^2l+b^2m+c^2n=0 এবং mn+nl+lm=0 সমীকরণ দ্বারা প্রদত্ত। সরলরেখা দুটি পরস্পর লম্ব হলে দেখাও যে, \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=0।
এবং, mn+nl+lm=0 … (2)
ধরি, দুটি সরলরেখার দিক কোসাইন যথাক্রমে,
(l_1,m_1,n_1) এবং (l_2,m_2,n_2)
সরলরেখা দুটি পরস্পর লম্ব হলে,
l_1l_2+m_1m_2+n_1n_2=0 … (3)
প্রথমে n বাদ দিই:
(1) থেকে, n=-\frac{a^2l+b^2m}{c^2}
এখন (2)-এ বসিয়ে, mn+nl+lm=0
n(l+m)+lm=0অতএব, -\frac{a^2l+b^2m}{c^2}(l+m)+lm=0
উভয় পাশে c^2 দ্বারা গুণ করে,
-(a^2l+b^2m)(l+m)+c^2lm=0অথবা, (a^2l+b^2m)(l+m)-c^2lm=0
অতএব, a^2l^2+(a^2+b^2-c^2)lm+b^2m^2=0
m^2 দ্বারা ভাগ করে পাই,
a^2\left(\frac{l}{m}\right)^2+(a^2+b^2-c^2)\left(\frac{l}{m}\right)+b^2=0এই সমীকরণের দুটি বীজ হলো,
\frac{l_1}{m_1},\quad\frac{l_2}{m_2}সুতরাং, বীজদ্বয়ের গুণফল, \frac{l_1}{m_1}\cdot\frac{l_2}{m_2}=\frac{b^2}{a^2}
অর্থাৎ, \frac{l_1l_2}{m_1m_2}=\frac{b^2}{a^2}
অতএব, l_1l_2=\frac{b^2}{a^2}m_1m_2 … (4)
এবার l বাদ দিই:
(1) থেকে, l=-\frac{b^2m+c^2n}{a^2}
এখন (2)-এ বসিয়ে,
mn+nl+lm=0 mn+l(m+n)=0অতএব, mn-\frac{b^2m+c^2n}{a^2}(m+n)=0
উভয় পাশে a^2 দ্বারা গুণ করে,
a^2mn-(b^2m+c^2n)(m+n)=0অতএব, b^2m^2+(b^2+c^2-a^2)mn+c^2n^2=0
n^2 দ্বারা ভাগ করে পাই,
b^2\left(\frac{m}{n}\right)^2+(b^2+c^2-a^2)\left(\frac{m}{n}\right)+c^2=0এই সমীকরণের দুটি বীজ হলো,
\frac{m_1}{n_1},\quad\frac{m_2}{n_2}সুতরাং, বীজদ্বয়ের গুণফল, \frac{m_1}{n_1}\cdot\frac{m_2}{n_2}=\frac{c^2}{b^2}
অর্থাৎ, \frac{m_1m_2}{n_1n_2}=\frac{c^2}{b^2}
অতএব, n_1n_2=\frac{b^2}{c^2}m_1m_2 … (5)
এখন (3)-এ (4) ও (5) বসাই:
l_1l_2+m_1m_2+n_1n_2=0 \frac{b^2}{a^2}m_1m_2+m_1m_2+\frac{b^2}{c^2}m_1m_2=0যেহেতু m_1m_2\neq0, তাই,
\frac{b^2}{a^2}+1+\frac{b^2}{c^2}=0উভয় পাশে b^2 দ্বারা ভাগ করে পাই,
\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=0অতএব প্রমাণিত হলো,
\boxed{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=0}
B) মূলবিন্দু থেকে কোনো সমতলের উপর আঁকা লম্বের পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক (a,b,c) হলে, সমতলের সমীকরণ নির্ণয় করো।
P(a,b,c) যেহেতু OP সমতলের উপর লম্ব, তাই OP-এর দিক অনুপাত সমতলের লম্বের দিক অনুপাতের সমান।
অতএব, সমতলের লম্বের দিক অনুপাত হলো, a:b:c এখন, P(a,b,c) বিন্দু দিয়ে অতিক্রান্ত এবং লম্বের দিক অনুপাত (a,b,c) বিশিষ্ট সমতলের সমীকরণ,
a(x-a)+b(y-b)+c(z-c)=0 সরলীকরণ করে পাই, ax-a^2+by-b^2+cz-c^2=0
অতএব, ax+by+cz=a^2+b^2+c^2
সুতরাং, নির্ণেয় সমতলের সমীকরণ হলো,
\boxed{ax+by+cz=a^2+b^2+c^2}
C) একটি চলমান সমতল মূলবিন্দু থেকে সর্বদা 3p একক দূরত্বে অবস্থান করে এবং x,y,z অক্ষকে যথাক্রমে A,B,C বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করো যে, ABC ত্রিভুজের ভরকেন্দ্রের সঞ্চারণপথ (locus) হবে x^{-2}+y^{-2}+z^{-2}=p^{-2}।
\frac{x}{\alpha}+\frac{y}{\beta}+\frac{z}{\gamma}=1 … (1)
অথবা,
\frac{1}{\alpha}x+\frac{1}{\beta}y+\frac{1}{\gamma}z-1=0মূলবিন্দু থেকে এই সমতলের দূরত্ব,
d=\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{\alpha^2}+\frac{1}{\beta^2}+\frac{1}{\gamma^2}}}প্রশ্নানুসারে, এই দূরত্ব সর্বদা 3p।
অতএব,
\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{\alpha^2}+\frac{1}{\beta^2}+\frac{1}{\gamma^2}}}=3pউভয় পাশে বর্গ করলে,
\frac{1}{\frac{1}{\alpha^2}+\frac{1}{\beta^2}+\frac{1}{\gamma^2}}=9p^2অতএব,
\frac{1}{\alpha^2}+\frac{1}{\beta^2}+\frac{1}{\gamma^2}=\frac{1}{9p^2} … (2)
এখন, ABC ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র G-এর স্থানাঙ্ক হবে,
G\left(\frac{\alpha+0+0}{3},\frac{0+\beta+0}{3},\frac{0+0+\gamma}{3}\right)অতএব,
G\left(\frac{\alpha}{3},\frac{\beta}{3},\frac{\gamma}{3}\right)ধরি, ভরকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক (x,y,z)।
তাহলে,
x=\frac{\alpha}{3},\qquad y=\frac{\beta}{3},\qquad z=\frac{\gamma}{3}অতএব,
\alpha=3x,\qquad \beta=3y,\qquad \gamma=3zএখন (2)-এ এই মানগুলি বসিয়ে পাই,
\frac{1}{(3x)^2}+\frac{1}{(3y)^2}+\frac{1}{(3z)^2}=\frac{1}{9p^2} \frac{1}{9x^2}+\frac{1}{9y^2}+\frac{1}{9z^2}=\frac{1}{9p^2}উভয় পাশে 9 দ্বারা গুণ করে,
\boxed{\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}=\frac{1}{p^2}}অথবা,
\boxed{x^{-2}+y^{-2}+z^{-2}=p^{-2}}সুতরাং, ABC ত্রিভুজের ভরকেন্দ্রের সঞ্চারণপথ (locus) হলো,
\boxed{x^{-2}+y^{-2}+z^{-2}=p^{-2}}প্রমাণিত।
D) \frac{x}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-2}{3} সরলরেখাটির সাপেক্ষে (1,6,3) বিন্দুর প্রতিবিম্ব বিন্দু নির্ণয় করো।
অতএব, সরলরেখাটির একটি বিন্দু A(0,1,2) এবং দিক ভেক্টর, \vec d=(1,2,3)
দেওয়া বিন্দু, P(1,6,3)
এখন, P থেকে সরলরেখার উপর লম্বের পাদবিন্দু Q নির্ণয় করি।
সরলরেখার যেকোনো বিন্দু, Q(t,1+2t,2+3t)
অতএব, \overrightarrow{AQ}=(t,2t,3t)
এবং, \overrightarrow{PQ}=(t-1,2t-5,3t-1)
যেহেতু PQ সরলরেখাটির উপর লম্ব,
\overrightarrow{PQ}\cdot\vec d=0অতএব, (t-1)(1)+(2t-5)(2)+(3t-1)(3)=0
t-1+4t-10+9t-3=0 14t-14=0 t=1সুতরাং, লম্বের পাদবিন্দু, Q=(1,3,5)
এখন, Q হলো P এবং তার প্রতিবিম্ব বিন্দু P'-এর মধ্যবিন্দু।
ধরি, প্রতিবিম্ব বিন্দু P'(x,y,z)।
তাহলে, \left(\frac{1+x}{2},\frac{6+y}{2},\frac{3+z}{2}\right)=(1,3,5)
অতএব, \frac{1+x}{2}=1\implies x=1
\frac{6+y}{2}=3\implies y=0 \frac{3+z}{2}=5\implies z=7সুতরাং, (1,6,3) বিন্দুর প্রতিবিম্ব বিন্দু হলো,
\boxed{(1,0,7)}
১২. দুটি প্রশ্নের মধ্যে যে-কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও:
A) মান নির্ণয় করো : \int_a^b\frac{f(x)\,dx}{f(x)+f(a+b-x)}
তাহলে, dx=-dt যখন x=a, তখন t=b এবং যখন x=b, তখন t=a।
অতএব, I=\int_b^a\frac{f(a+b-t)(-dt)}{f(a+b-t)+f(t)}
সীমা উল্টে দিলে, I=\int_a^b\frac{f(a+b-t)\,dt}{f(a+b-t)+f(t)}
অর্থাৎ, I=\int_a^b\frac{f(a+b-x)\,dx}{f(a+b-x)+f(x)} … (2)
এখন (1) ও (2) যোগ করলে, 2I=\int_a^b\left[\frac{f(x)}{f(x)+f(a+b-x)}+\frac{f(a+b-x)}{f(a+b-x)+f(x)}\right]dx
2I=\int_a^b\frac{f(x)+f(a+b-x)}{f(x)+f(a+b-x)}\,dx 2I=\int_a^b1\,dx 2I=b-aঅতএব, \boxed{I=\frac{b-a}{2}}
B) দেখাও যে \int_0^{2000\pi}\frac{dx}{1+5^{\sin x}}=1000\pi।
নির্দিষ্ট সমাকলনের ধর্ম অনুযায়ী, I=\int_0^{2000\pi}\frac{dx}{1+5^{\sin(2000\pi-x)}}
যেহেতু, \sin(2000\pi-x)=-\sin x
তাই, I=\int_0^{2000\pi}\frac{dx}{1+5^{-\sin x}}
=\int_0^{2000\pi}\frac{5^{\sin x}}{1+5^{\sin x}}\,dxএখন মূল সমীকরণের সঙ্গে যোগ করলে, 2I=\int_0^{2000\pi}\left(\frac{1}{1+5^{\sin x}}+\frac{5^{\sin x}}{1+5^{\sin x}}\right)dx
2I=\int_0^{2000\pi}1\,dx=2000\piঅতএব, \boxed{I=1000\pi}
সুতরাং, \boxed{\int_0^{2000\pi}\frac{dx}{1+5^{\sin x}}=1000\pi}
প্রমাণিত।
১৩. দুটি প্রশ্নের মধ্যে যে-কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও:
A) x-অক্ষ, x=\sqrt{3}y সরলরেখা ও x^2+y^2=4 বৃত্ত দ্বারা প্রথম পাদে সীমাবদ্ধ অঞ্চলের ক্ষেত্রফল নির্দিষ্ট সমাকল ব্যবহার করে নির্ণয় করো।
অতএব, প্রথম পাদে বৃত্তের সমীকরণ, y=\sqrt{4-x^2}
এবং প্রদত্ত সরলরেখা, x=\sqrt{3}y
অর্থাৎ, y=\frac{x}{\sqrt{3}}
ছেদবিন্দু নির্ণয়: বৃত্ত ও সরলরেখার ছেদবিন্দুর জন্য,
x^2+\left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right)^2=4 x^2+\frac{x^2}{3}=4 \frac{4x^2}{3}=4 x^2=3প্রথম পাদে, x=\sqrt{3}
এবং, y=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=1
অতএব, ছেদবিন্দু হলো (\sqrt{3},1)। আবার, বৃত্তটি x-অক্ষকে (2,0) বিন্দুতে ছেদ করে। অতএব, চাওয়া অঞ্চলটি দুটি অংশে ভাগ করা যায়।
প্রথম অংশ:
x=0 থেকে x=\sqrt{3} পর্যন্ত ক্ষেত্রফলটি সরলরেখার নিচে এবং x-অক্ষের উপরে।
A_1=\int_0^{\sqrt{3}}\frac{x}{\sqrt{3}}\,dx =\frac{1}{\sqrt{3}}\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^{\sqrt{3}} =\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}দ্বিতীয় অংশ:
x=\sqrt{3} থেকে x=2 পর্যন্ত ক্ষেত্রফলটি বৃত্তের নিচে এবং x-অক্ষের উপরে।
A_2=\int_{\sqrt{3}}^2\sqrt{4-x^2}\,dxআমরা জানি, \int\sqrt{a^2-x^2}\,dx=\frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2}+\frac{a^2}{2}\sin^{-1}\frac{x}{a}+C
অতএব, A_2=\left[\frac{x}{2}\sqrt{4-x^2}+2\sin^{-1}\frac{x}{2}\right]_{\sqrt{3}}^2
=\left[0+2\sin^{-1}1\right]-\left[\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot1+2\sin^{-1}\frac{\sqrt{3}}{2}\right] =\pi-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{2\pi}{3} =\frac{\pi}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}সুতরাং, মোট ক্ষেত্রফল, A=A_1+A_2
=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\pi}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2} =\frac{\pi}{3}অতএব, চাওয়া ক্ষেত্রফল হলো, \boxed{\frac{\pi}{3}} বর্গ একক।
B) কলনবিদ্যার সাহায্যে নিম্নলিখিত বক্রদ্বয় দ্বারা আবদ্ধ অঞ্চলের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো : x^2+y^2\leq1,\ x+y\leq1।
1. x^2+y^2\leq1 (১ একক ব্যাসার্ধের বৃত্তের ভেতরের অঞ্চল)
2. x+y\leq1 (x+y=1 সরলরেখার নিচের অঞ্চল)
প্রদত্ত বৃত্তের সমীকরণ: x^2+y^2=1 … (1)
এবং সরলরেখার সমীকরণ: x+y=1 \implies y = 1-x … (2)
ছেদবিন্দু নির্ণয়:
(1) ও (2) হতে পাই,
x^2+(1-x)^2=1
\implies x^2+1-2x+x^2=1
\implies 2x^2-2x=0 \implies 2x(x-1)=0
\implies x=0, 1
যখন x=0, তখন y=1 এবং যখন x=1, তখন y=0।
সুতরাং, ছেদবিন্দু দুটি হলো (0,1) এবং (1,0)।
ক্ষেত্রফল নির্ণয়:
বৃত্তের মোট ক্ষেত্রফল = \pi(1)^2 = \pi বর্গ একক।
প্রথম পাদে x=0 থেকে x=1 সীমার মধ্যে বৃত্ত ও সরলরেখা দ্বারা আবদ্ধ ছোট অংশের ক্ষেত্রফল (A_1):
A_1 = \int_0^1 (y_{\text{circle}} - y_{\text{line}})\,dx
A_1 = \int_0^1 \left(\sqrt{1-x^2} - (1-x)\right)dx
A_1 = \int_0^1 \sqrt{1-x^2}\,dx - \int_0^1 (1-x)\,dx
এখানে, \int_0^1 \sqrt{1-x^2}\,dx = \left[\frac{x}{2}\sqrt{1-x^2} + \frac{1}{2}\sin^{-1}x\right]_0^1 = \frac{1}{2}\sin^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}
এবং, \int_0^1 (1-x)\,dx = \left[x - \frac{x^2}{2}\right]_0^1 = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}
অতএব, A_1 = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}
সুতরাং, নির্ণেয় আবদ্ধ অঞ্চলের ক্ষেত্রফল (A):
A = \text{বৃত্তের মোট ক্ষেত্রফল} - A_1
A = \pi - \left(\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}\right)
A = \pi - \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2}
=\frac{3\pi}{4}+\frac{1}{2}
অতএব, নির্ণেয় ক্ষেত্রফল \boxed{\left(\frac{3\pi}{4}+\frac{1}{2}\right)} বর্গ একক।
