Class 10 Mathematics Chapter 01 Nije Kori Answers | দশম শ্রেণীর অধ্যায় ০১ একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ নিজে করি সমাধান

অতএব, দৈর্ঘ্য = x+2 মিটার।
[\because আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ ]
সুতরাং, ক্ষেত্রফল = (x+2)\times x বর্গমিটার
শর্তানুসারে, (x+2)\times x = 24
বা, x^2+2x-24=0

\therefore গঠিত দ্বিঘাত সমীকরণটি হল x^2+2x-24=0।

\therefore k এর মান -4 হলে দ্বিঘাত সমীকরণটির একটি বীজ 1 হবে।

⇒ \frac{a}{ax-1}+\frac{b}{bx-1}-a=0
⇒ \frac{a}{ax-1}+\frac{b-a(bx-1)}{bx-1}=0
⇒ \frac{a}{ax-1}+\frac{b-abx+a}{bx-1}=0
⇒ \frac{a+b-abx}{ax-1}+\frac{a+b-abx}{bx-1}=0
⇒ (a+b-abx)\left(\frac{1}{ax-1}+\frac{1}{bx-1}\right)=0

\therefore এদের মধ্যে কোনো একটি শূন্য হবে।

হয়, (a+b-abx)=0

⇒ a+b=abx
⇒ x=\frac{a+b}{ab}

অথবা, \left(\frac{1}{ax-1}+\frac{1}{bx-1}\right)=0

⇒ \frac{bx-1+ax-1}{(ax-1)(bx-1)}=0
⇒ (a+b)x-2=0
⇒ x(a+b)=2
⇒ x=\frac{2}{a+b}

\therefore প্রদত্ত সমীকরণের সমাধান হল x=\frac{a+b}{ab} এবং x=\frac{2}{a+b}।

⇒ \frac{(x+3)^2+(x-3)^2}{(x-3)(x+3)}= \frac{5}{2}
⇒ \frac{x^2+6x+9+x^2-6x+9}{x^2-9}=\frac{5}{2}
⇒ \frac{2x^2+18}{x^2-9}=\frac{5}{2}

[ \because (a+b)^2+(a-b)^2=2(a^2+b^2) ]

⇒ \frac{2(x^2+9)}{x^2-9}=\frac{5}{2}
⇒ 4(x^2+9)=5(x^2-9)
⇒ 4x^2+36=5x^2-45
⇒ 4x^2-5x^2=-36-45
⇒ -x^2=-81
⇒ x^2=81
⇒ x=\pm \sqrt{81}
⇒ x=\pm 9

\therefore প্রদত্ত সমীকরণের সমাধান হল x=9 এবং x=-9।

শর্তানুসারে, অঙ্কদ্বয়ের গুণফল সংখ্যাটির চেয়ে 12 কম।
অতএব, x(x+6)=(11x+6)-12

⇒ x^2+6x=11x+6-12
⇒ x^2+6x=11x-6
⇒ x^2+6x-11x+6=0
⇒ x^2-5x+6=0
⇒ x^2-3x-2x+6=0
⇒ x(x-3)-2(x-3)=0
⇒ (x-3)(x-2)=0

দুটি রাশির গুণফল শূন্য।

\therefore এদের মধ্যে যেকোনো একটি শূন্য হবে।
হয়, x-3=0 \ \therefore x=3
অথবা, x-2=0 \ \therefore x=2

⇒ যদি x=3, তবে একক অঙ্ক x+6=9।
অথবা, যদি x=2, তবে একক অঙ্ক x+6=8।

\therefore দুই অঙ্কের সংখ্যার একক স্থানের অঙ্ক হতে পারে 9 অথবা 8।

⇒ 25x^2+115x+60=0
বা, 25x^2+115x+60=0

⇒ 25x^2+2\cdot 5x \cdot \frac{115}{10}+60-\left(\frac{115}{10}\right)^2+\left(\frac{115}{10}\right)^2=0
⇒ \left(5x+\frac{115}{10}\right)^2+60-\frac{529}{4}=0
⇒ \left(5x+\frac{115}{10}\right)^2+\frac{240-529}{4}=0
⇒ \left(5x+\frac{115}{10}\right)^2+\frac{-289}{4}=0
⇒ \left(5x+\frac{115}{10}\right)^2=\frac{289}{4}
⇒ 5x+\frac{115}{10}=\pm \frac{\sqrt{289}}{2}
⇒ 5x+\frac{115}{10}=\pm \frac{17}{2}
⇒ 5x=\frac{-115}{10}\pm \frac{85}{10}

বা, 5x=\frac{-115+85}{10} অথবা 5x=\frac{-115-85}{10}
⇒ x=\frac{-115+85}{50} অথবা x=\frac{-115-85}{50}
⇒ x=\frac{-30}{50}=-\frac{3}{5} অথবা x=\frac{-200}{50}=-4

\therefore পূর্ণবর্গাকার পদ্ধতিতে নির্ণীত বীজদ্বয় হল x=-\frac{3}{5} এবং x=-4।

শর্তানুসারে,
x(x+2)=143

⇒ x^2+2x-143=0
এখন এই দ্বিঘাত সমীকরণটি ax^2+bx+c=0 দ্বিঘাত সমীকরণের সাথে তুলনা করলে পাই, a=1, b=2, এবং c=-143।
এখন শ্রেণীর আচার্যের সূত্র প্রয়োগ করলে পাই,

x=\frac{-2\pm \sqrt{2^2-4(1)(-143)}}{2\times 1}
⇒ x=\frac{-2\pm \sqrt{4+572}}{2}
⇒ x=\frac{-2\pm \sqrt{576}}{2}
⇒ x=\frac{-2\pm 24}{2}
⇒ x=\frac{-2+24}{2}=11 অথবা x=\frac{-2-24}{2}=-13

কিন্তু সংখ্যা দুটি ধনাত্মক হওয়ায় x=-13 গ্রহণযোগ্য নয়।
অতএব, x=11।
সুতরাং সংখ্যাদুটি হল 11 এবং 11+2=13।

\therefore প্রদত্ত ক্রমিক ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা দুটি হল 11 এবং 13।

\therefore b^2-4ac=0
⇒ (-10)^2-4(2)(k)=0
⇒ 100-8k=0
⇒ 8k=100
⇒ k=\frac{100}{8}
⇒ k=\frac{25}{2}

\therefore k-এর মান \frac{25}{2} হলে দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব ও সমান হবে।

\therefore 3x^2-10x+3=0 দ্বিঘাত সমীকরণের 1 টি বীজ \frac{1}{3} হলে অপর বীজটি হবে 3।

\therefore \alpha+\beta=\frac{-b}{a}
এবং \alpha\beta=\frac{c}{a}

এখন,
\frac{1}{\alpha^3}+\frac{1}{\beta^3}=\frac{\beta^3+\alpha^3}{\alpha^3\beta^3}

⇒ \frac{(\alpha+\beta)^3-3\alpha\beta(\alpha+\beta)}{(\alpha\beta)^3}

⇒ \frac{\left(-\frac{b}{a}\right)^3-3\cdot\frac{c}{a}\cdot\left(-\frac{b}{a}\right)}{\left(\frac{c}{a}\right)^3}

⇒ \frac{-\frac{b^3}{a^3}+\frac{3bc}{a^2}}{\frac{c^3}{a^3}}

⇒ \frac{-b^3+3abc}{c^3}\cdot\frac{a^3}{a^3}

⇒ \frac{-b^3+3abc}{c^3}

\therefore \frac{1}{\alpha^3}+\frac{1}{\beta^3}=\frac{3abc-b^3}{c^3}।