Class 10 Mathematics Chapter 01 Koshe Dekhi 1.5 Question Answer
দশম শ্রেণীর গণিতের প্রথম অধ্যায় একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ থেকে কষে দেখি ১.৫ প্রশ্নোত্তরের সম্পূর্ণ সমাধান এখানে দেওয়া হলো। এই পোস্টে আপনি পাবেন Class 10 Mathematics Chapter 01 Koshe Dekhi 1.5 Question Answer সহজভাবে ধাপে ধাপে উপস্থাপন করা। প্রতিটি প্রশ্নের উত্তর এমনভাবে দেওয়া হয়েছে যাতে ছাত্রছাত্রীরা সহজে বুঝতে পারে এবং পরীক্ষার প্রস্তুতিতে আত্মবিশ্বাস অর্জন করতে পারে।
1. নীচের দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয়ের প্রকৃতি লিখি—
(i) 2x^2+7x+3=0
নিরুপক = \Delta = b^2-4acএখানে, a=2,; b=7,; c=3
তাহলে, \Delta = 7^2 - 4 \times 2 \times 3 = 49 - 24 = 25
যেহেতু \Delta = 25 > 0, তাই সমীকরণের দুটি বাস্তব ও ভিন্ন বীজ থাকবে।
এখন, x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-7\pm\sqrt{25}}{2\times 2}=\dfrac{-7\pm 5}{4}
অতএব, x_1=\dfrac{-7+5}{4}=-\dfrac{1}{2},\quad x_2=\dfrac{-7-5}{4}=-3
সমাধান: x=-\tfrac{1}{2},-3
(ii) 3x^2 - 2\sqrt{6}x + 2 = 0
নিরুপক = \Delta = b^2 - 4acএখানে, a=3, b=-2\sqrt{6}, c=2
তাহলে, \Delta = (-2\sqrt{6})^2 - 4 \times 3 \times 2 = 24 - 24 = 0
যেহেতু \Delta = 0, তাই সমীকরণের দুটি সমান বাস্তব বীজ থাকবে।
এখন, x=\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{-(-2\sqrt{6})}{2\times 3}=\dfrac{2\sqrt{6}}{6}=\dfrac{\sqrt{6}}{3}
অতএব, সমাধান: x=\dfrac{\sqrt{6}}{3},\;\dfrac{\sqrt{6}}{3}
(iii) 2x^2 - 7x + 9 = 0
নিরুপক = \Delta = b^2 - 4acএখানে, a=2, b=-7, c=9
তাহলে, \Delta = (-7)^2 - 4 \times 2 \times 9 = 49 - 72 = -23
যেহেতু \Delta = -23 \lt 0, তাই সমীকরণের কোনো বাস্তব বীজ নেই, বরং দুটি কাল্পনিক বীজ থাকবে।
এখন, x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-(-7)\pm\sqrt{-23}}{2\times 2}=\dfrac{7\pm i\sqrt{23}}{4}
অতএব, সমাধান: x=\dfrac{7+i\sqrt{23}}{4},\;\dfrac{7-i\sqrt{23}}{4}
(iv) \tfrac{2}{5}x^2 - \tfrac{2}{3}x + 1 = 0
নিরুপক = \Delta = b^2 - 4acএখানে, a=\tfrac{2}{5}, b=-\tfrac{2}{3}, c=1
তাহলে, \Delta=\left(-\tfrac{2}{3}\right)^2-4\times\tfrac{2}{5}\times 1=\tfrac{4}{9}-\tfrac{8}{5}=\tfrac{20-72}{45}=-\tfrac{52}{45}
যেহেতু \Delta=-\tfrac{52}{45}\lt 0, তাই কোনো বাস্তব বীজ নেই; দুটি কাল্পনিক বীজ থাকবে।
এখন, x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{\tfrac{2}{3}\pm\sqrt{-\tfrac{52}{45}}}{\tfrac{4}{5}}=\left(\tfrac{2}{3}\pm i\sqrt{\tfrac{52}{45}}\right)\tfrac{5}{4}
আরও সরল করে, \sqrt{\tfrac{52}{45}}=\sqrt{\tfrac{4\cdot 13}{9\cdot 5}}=\tfrac{2}{3}\sqrt{\tfrac{13}{5}}=\tfrac{2}{15}\sqrt{65}
অতএব, x=\tfrac{5}{6}\pm\tfrac{1}{6}i\sqrt{65}=\dfrac{5\pm i\sqrt{65}}{6}
2. k-এর কোন মান/মানগুলির জন্য নীচের প্রতিটি দ্বিঘাত সমীকরণের বাস্তব ও সমান বীজ থাকবে হিসাব করে লিখি—
(i) 49x^2 + kx + 1 = 0
নিরুপক = \Delta = b^2 - 4acএখানে, a=49,\; b=k,\; c=1
তাহলে, \Delta = k^2 - 4 \times 49 \times 1 = k^2 - 196
বাস্তব ও সমান বীজের জন্য শর্ত: \Delta = 0
অতএব, k^2 - 196 = 0 \;\Rightarrow\; (k-14)(k+14)=0 \;\Rightarrow\; k=14,\; -14
টীকা: k=14 হলে সমান বীজ x=-\tfrac{1}{7} এবং k=-14 হলে x=\tfrac{1}{7} (কারণ x=\dfrac{-b}{2a} যখন \Delta=0)।
(ii) 3x^2 - 5x + 2k = 0
নিরুপক = \Delta = b^2 - 4acএখানে, a=3,\; b=-5,\; c=2k
তাহলে, \Delta = (-5)^2 - 4 \times 3 \times (2k) = 25 - 24k
বাস্তব ও সমান বীজের জন্য শর্ত: \Delta = 0
অতএব, 25 - 24k = 0 \Rightarrow k = \tfrac{25}{24}
টীকা: \Delta=0 হলে বীজদ্বয় সমান এবং x=\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{5}{6}।
(iii) 9x^2 - 24x + k = 0
নিরুপক = \Delta = b^2 - 4acএখানে, a=9,\; b=-24,\; c=k
তাহলে, \Delta = (-24)^2 - 4 \times 9 \times k = 576 - 36k
বাস্তব ও সমান বীজের জন্য শর্ত: \Delta = 0
অতএব, 576 - 36k = 0
\;\Rightarrow\; 36k = 576
\;\Rightarrow\; k = \frac{576}{36}
\;\Rightarrow\; k = 16
টীকা: যখন \Delta=0, তখন বীজদ্বয় সমান এবং x=\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{24}{18}=\dfrac{4}{3}।
(iv) 2x^2 + 3x + k = 0
নিরুপক = \Delta = b^2 - 4acএখানে, a=2,\; b=3,\; c=k
তাহলে, \Delta = 3^2 - 4 \times 2 \times k = 9 - 8k
বাস্তব ও সমান বীজের জন্য শর্ত: \Delta = 0
অতএব, 9 - 8k = 0 \;\Rightarrow\; k = \tfrac{9}{8}
টীকা: \Delta=0 হলে বীজদ্বয় সমান এবং x=\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{-3}{4}।
(v) x^2 - 2(5+2k)x + 3(7+10k) = 0
নিরুপক = \Delta = b^2 - 4acএখানে, a=1,; b=-2(5+2k),; c=3(7+10k)
তাহলে,
\Delta = \{-2(5+2k)\}^2 - 4 \times 1 \times \{3(7+10k)\}
= (10+4k)^2 - 4(21+30k)
= (100+80k+16k^2) - (84+120k)
= 16k^2 - 40k + 16
বাস্তব ও সমান বীজের জন্য শর্ত: \Delta = 0
অতএব, 16k^2 - 40k + 16 = 0 \;\Rightarrow\; 2k^2 - 5k + 2 = 0
\Rightarrow\; (2k-1)(k-2)=0 \;\Rightarrow\; k=\tfrac{1}{2},\; 2
টীকা: \Delta=0 হলে বীজদ্বয় সমান এবং x=\dfrac{-b}{2a}=5+2k।
তাই, k=\tfrac{1}{2} হলে x=6 এবং k=2 হলে x=9।
2.(vi) (3k+1)x^2 + 2(k+1)x + k = 0
নিরুপক = \Delta = b^2 - 4acএখানে, a=3k+1,\; b=2(k+1),\; c=k
তাহলে, \Delta = \{2(k+1)\}^2 - 4(3k+1)k = 4(k+1)^2 - 4k(3k+1)
= 4(k^2+2k+1) - (12k^2+4k) = -8k^2 + 4k + 4
বাস্তব ও সমান বীজের জন্য শর্ত: \Delta=0
অতএব, -8k^2 + 4k + 4 = 0 \;\Rightarrow\; 2k^2 - k - 1 = 0 \;\Rightarrow\; (2k+1)(k-1)=0
সুতরাং, k=1,\; -\tfrac{1}{2}।
টীকা: এই মানগুলির জন্য সমীকরণের বীজদ্বয় সমান এবং x=\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{-2(k+1)}{2(3k+1)}=-\dfrac{k+1}{3k+1}।
অতএব, k=1 হলে x=-\tfrac{1}{2} এবং k=-\tfrac{1}{2} হলে x=1।
3. নীচে প্রদত্ত বীজগণ দ্বারা দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন করি—
3.(i) 4, 2
দ্বিঘাত সমীকরণ: (x-\alpha)(x-\beta)=0অথবা, বীজের সমষ্টি ও গুণফল ব্যবহার করে
x^2 - (\alpha+\beta)x + \alpha\beta = 0
এখানে, \alpha+\beta = 4+2 = 6,\quad \alpha\beta = 4\times 2 = 8
অতএব সমীকরণ: x^2 - 6x + 8 = 0
3.(ii) -4, -3
দ্বিঘাত সমীকরণ: (x-\alpha)(x-\beta)=0অথবা, বীজের সমষ্টি ও গুণফল ব্যবহার করে
x^2 - (\alpha+\beta)x + \alpha\beta = 0
এখানে, \alpha+\beta = -4+(-3) = -7,\quad \alpha\beta = (-4)\times(-3) = 12
অতএব সমীকরণ: x^2 - (-7)x + 12 = 0 \Rightarrow x^2 + 7x + 12 = 0
3.(iii) -4, 3
দ্বিঘাত সমীকরণ: (x-\alpha)(x-\beta)=0অথবা, বীজের সমষ্টি ও গুণফল ব্যবহার করে
x^2 - (\alpha+\beta)x + \alpha\beta = 0
এখানে, \alpha+\beta = -4+3 = -1,\quad \alpha\beta = (-4)\times 3 = -12
অতএব সমীকরণ: x^2 - (-1)x - 12 = 0 \Rightarrow x^2 + x - 12 = 0
3.(iv) 5, -3
দ্বিঘাত সমীকরণ: (x-\alpha)(x-\beta)=0অথবা, বীজের সমষ্টি ও গুণফল ব্যবহার করে
x^2 - (\alpha+\beta)x + \alpha\beta = 0
এখানে, \alpha+\beta = 5+(-3) = 2,\quad \alpha\beta = 5\times(-3) = -15
অতএব সমীকরণ: x^2 - 2x - 15 = 0
4. m-এর মান কত হলে, 4x^2+4(3m-1)x+(m+7)=0 দ্বিঘাত সমীকরণের বীজ দুটি পরস্পর বিপরীতধর্মী হবে?
উত্তরঃ প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকরণ 4x^2+4(3m-1)x+(m+7)=0।
এখানে, a=4, b=4(3m-1), c=m+7।
ধরি, বীজ দুটি \alpha এবং \tfrac{1}{\alpha}।
তাহলে, \alpha \cdot \tfrac{1}{\alpha} = 1।
কিন্তু, বীজের গুণফল = \dfrac{c}{a}=\dfrac{m+7}{4}।
অতএব,
\dfrac{m+7}{4}=1
⇒ m+7=4
⇒ m=-3।
সমাধান: m=-3।
5. x^2+(c-a)x+(a-b)=0 দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় সমান হলে প্রমাণ কর, 2b=a+c
প্রদত্ত সমীকরণকে সাধারণ রূপে লিখি:
Ax^2+Bx+C=0এখানে, A=1, B=(c-a), C=(a-b)।
যেহেতু বীজদ্বয় সমান, তাই
\Delta = B^2-4AC=0
⇒ (c-a)^2-4(1)(a-b)=0
⇒ (c-a)^2-4a+4b=0
⇒ c^2-2ac+a^2-4a+4b=0
⇒ a^2+c^2-2ac+4b-4a=0
এখন, a^2+c^2-2ac=(a-c)^2
অতএব, (a-c)^2+4b-4a=0
⇒ (a+c)-2b=0
⇒ a+c=2b
সুতরাং প্রমাণিত হলো যে, বীজদ্বয় সমান হলে 2b=a+c
6. (a^2+b^2)x^2 - 2(ac+bd)x + (c^2+d^2)=0 দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় সমান হলে প্রমাণ কর, \tfrac{a}{b}=\tfrac{c}{d}
প্রদত্ত সমীকরণকে Ax^2+Bx+C=0 আকারে লিখলে পাই,
A=(a^2+b^2),\; B=-2(ac+bd),\; C=(c^2+d^2)।যেহেতু বীজদ্বয় সমান, তাই
\Delta = B^2-4AC=0
⇒ (-2(ac+bd))^2 - 4(a^2+b^2)(c^2+d^2)=0
⇒ 4(ac+bd)^2 - 4(a^2+b^2)(c^2+d^2)=0
⇒ 4\{(ac+bd)^2 - (a^2+b^2)(c^2+d^2)\}=0
⇒ (ac+bd)^2 - (a^2+b^2)(c^2+d^2)=0
⇒ a^2c^2+2abcd+b^2d^2 - (a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2)=0
⇒ 2abcd - (a^2d^2+b^2c^2)=0
⇒ b^2c^2 - 2abcd + a^2d^2=0
⇒ (bc-ad)^2=0
⇒ bc=ad
অতএব, \tfrac{a}{b}=\tfrac{c}{d} [প্রমাণিত]
7. প্রমাণ করো যে (a^2+b^2)x^2+2(a+b)x+1=0 দ্বিঘাত সমীকরণের কোনো বাস্তব বীজ থাকবে না যদি a \ne b হয়।
প্রদত্ত সমীকরণটিকে Ax^2+Bx+C=0 সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই,
A=2(a^2+b^2), B=2(a+b) এবং C=1।এখন নিরূপক \Delta = B^2 - 4AC
⇒ \Delta = \{2(a+b)\}^2 - 4\{2(a^2+b^2)\}(1)
⇒ \Delta = 4(a^2+2ab+b^2) - 8a^2 - 8b^2
⇒ \Delta = 4a^2 + 8ab + 4b^2 - 8a^2 - 8b^2
⇒ \Delta = -4a^2 + 8ab - 4b^2
⇒ \Delta = -4(a^2 - 2ab + b^2)
⇒ \Delta = -4(a-b)^2
এখন, (a-b)^2 \geq 0 হওয়াতে \Delta = -4(a-b)^2 \leq 0।
\therefore যদি a=b, তবে \Delta=0 অর্থাৎ সমীকরণের দুটি সমান বাস্তব বীজ থাকবে।
\therefore যদি a \ne b, তবে \Delta < 0 অর্থাৎ সমীকরণের কোনো বাস্তব বীজ থাকবে না।
প্রমাণিত।
8. 5x^2+2x-3=0 দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বীজ \alpha ও \beta হলে,
(i) \alpha^2+\beta^2
(ii) \alpha^3+\beta^3
(iii) \tfrac{1}{\alpha}+\tfrac{1}{\beta}
(iv) \tfrac{\alpha^2}{\beta}+\tfrac{\beta^2}{\alpha}
—এর মান নির্ণয় করি।
5x^2+2x-3=0 সমীকরণের দুটি বীজ \alpha ও \beta
\therefore \alpha+\beta = \frac{-(x \text{এর সহগ})}{(x^2 \text{এর সহগ})} = \frac{-2}{5} \quad ...(i)
\therefore \alpha\beta = \frac{\text{ধ্রুবক পদ}}{(x^2 \text{এর সহগ})} = \frac{-3}{5} \quad ...(ii)(i) \alpha^2+\beta^2
আমরা জানি,
\alpha^2+\beta^2 = (\alpha+\beta)^2 - 2\alpha\beta \alpha+\beta = -\tfrac{2}{5}, \quad \alpha\beta = -\tfrac{3}{5}
অতএব,
\alpha+\beta এবং \alpha\beta এর মান বসিয়ে পাই,
\alpha^2+\beta^2 = \left(-\tfrac{2}{5}\right)^2 - 2\left(-\tfrac{3}{5}\right)
⇒ \tfrac{4}{25} + \tfrac{6}{5}
⇒ \tfrac{4}{25} + \tfrac{30}{25}
⇒ \tfrac{34}{25}
(ii) \alpha^3+\beta^3
আমরা জানি,
\alpha^3+\beta^3 = (\alpha+\beta)^3 - 3\alpha\beta(\alpha+\beta)
প্রদত্ত সমীকরণ থেকে পাই —
\alpha+\beta = -\tfrac{2}{5}, \quad \alpha\beta = -\tfrac{3}{5}
অতএব,
\alpha^3+\beta^3 = \left(-\tfrac{2}{5}\right)^3 - 3\left(-\tfrac{3}{5}\right)\left(-\tfrac{2}{5}\right)
⇒ -\tfrac{8}{125} - 3 \times \tfrac{6}{25}
⇒ -\tfrac{8}{125} - \tfrac{18}{25}
⇒ -\tfrac{8}{125} - \tfrac{90}{125}
⇒ -\tfrac{98}{125}
(iii) \tfrac{1}{\alpha}+\tfrac{1}{\beta}
আমরা জানি,
\tfrac{1}{\alpha}+\tfrac{1}{\beta} = \dfrac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}
প্রদত্ত সমীকরণ থেকে পাই —
\alpha+\beta = -\tfrac{2}{5}, \quad \alpha\beta = -\tfrac{3}{5}
অতএব,
\tfrac{1}{\alpha}+\tfrac{1}{\beta} = \dfrac{-\tfrac{2}{5}}{-\tfrac{3}{5}}
⇒ \tfrac{-2}{-3}
⇒ \tfrac{2}{3}
(iv) \tfrac{\alpha^2}{\beta}+\tfrac{\beta^2}{\alpha}
প্রথমে,
\tfrac{\alpha^2}{\beta}+\tfrac{\beta^2}{\alpha} = \dfrac{\alpha^3}{\alpha\beta} + \dfrac{\beta^3}{\alpha\beta}
⇒ = \dfrac{\alpha^3+\beta^3}{\alpha\beta}
আমরা জানি,
\alpha^3+\beta^3 = -\tfrac{98}{125}, \quad \alpha\beta = -\tfrac{3}{5}
অতএব,
\tfrac{\alpha^2}{\beta}+\tfrac{\beta^2}{\alpha} = \frac{-\tfrac{98}{125}}{-\tfrac{3}{5}}
⇒ = \frac{-98}{125} \times \frac{5}{-3}
⇒ = \frac{490}{375}
⇒ = \frac{98}{75}
9. ax^2+bx+c=0 সমীকরণের একটি বীজ অপরটির দ্বিগুণ হলে, দেখাও যে 2b^2=9ac।
সমাধানঃ
ধরি, এক বীজ \alpha। তাহলে অন্য বীজ হবে 2\alpha।
বীজের যোগফল = \alpha+2\alpha=3\alpha = -\dfrac{b}{a} [বীজের যোগফল = -\frac{\text{x-এর সহগ}}{\text{x}^2\text{-এর সহগ}}]
⇒ \alpha = -\frac{b}{3a}
বীজের গুণফল = \alpha\cdot 2\alpha = 2\alpha^2 = \dfrac{c}{a} [বীজের গুণফল = \frac{\text{ধ্রুবক পদ}}{\text{x}^2\text{-এর সহগ}}]
⇒ 2\alpha^2=\frac{c}{a}
এখন, \alpha=-\frac{b}{3a} \Rightarrow \alpha^2=\frac{b^2}{9a^2}
অতএব, 2\alpha^2 = 2 \cdot \dfrac{b^2}{9a^2} = \frac{c}{a}
⇒ উভয় পাশে a গুণ করলে, \frac{2b^2}{9a}=c
⇒ উভয় পাশে 9a গুণ করলে, 2b^2=9ac
\therefore প্রমাণিত।
10. যে সমীকরণের বীজগুলি x^2+px+1=0 সমীকরণের বীজগুলির ব্যস্তানুপাত, সেই সমীকরণটি গঠন করো।
তাহলে,
বীজের যোগফল, a+b=-p [কারণ, -\frac{\text{x-এর সহগ}}{\text{x}^2\text{-এর সহগ}}]
বীজের গুণফল, ab=1 [কারণ, \frac{\text{ধ্রুবক পদ}}{\text{x}^2\text{-এর সহগ}}]এখন যেহেতু নতুন সমীকরণের বীজদ্বয় হবে প্রদত্ত সমীকরণের বীজদ্বয়ের ব্যস্তানুপাত, অর্থাৎ \tfrac{1}{a} ও \tfrac{1}{b}, তাই—
বীজের যোগফল (নতুন):
\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\dfrac{a+b}{ab}=\frac{-p}{1}=-p
বীজের গুণফল (নতুন):
\frac{1}{a}\cdot\frac{1}{b}=\frac{1}{ab}=\frac{1}{1}=1
অতএব, নতুন সমীকরণ রূপ: x^2-(\text{যোগফল})x+(\text{গুণফল})=0 হবে—
x^2-(-p)x+1=0
অর্থাৎ, {x^2+px+1=0}
\therefore তাই যে সমীকরণের বীজদ্বয় প্রদত্ত সমীকরণের বীজদ্বয়ের ব্যস্তানুপাত,
সেই সমীকরণটি একই: x^2+px+1=0
11. x^2+x+1=0 সমীকরণের বীজগুলির বর্গ যে সমীকরণের বীজ, সেই সমীকরণটি নির্ণয় কর।
ধরি, x^2+x+1=0 সমীকরণের বীজ দুটি হল a এবং b।
আমাদের নির্ণয় করতে হবে যে সমীকরণের বীজ দুটি হবে a^2 এবং b^2।প্রদত্ত সমীকরণ থেকে পাই,
a+b=-1, \quad ab=1
এখন,
a^2+b^2=(a+b)^2-2ab
=(-1)^2-2(1)
=1-2=-1
এছাড়া,
a^2b^2=(ab)^2=(1)^2=1
অতএব, নতুন সমীকরণ হবে—
x^2-(a^2+b^2)x+a^2b^2=0
⇒ x^2-(-1)x+1=0
⇒ x^2+x+1=0
\therefore সুতরাং, x^2+x+1=0 সমীকরণটির বীজগুলির বর্গও একই সমীকরণের বীজ।
12. অতি সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A)
(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (MCQ)
(i) x^2-6x+2=0 সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমষ্টি কত?
x^2-6x+2=0 সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমস্টি = \frac{-(x \text{এর সহগ})}{(x^2 \text{এর সহগ})}= -\frac{(-6)}{1}= 6
(ii) x^2-3x+k=10 সমীকরণের বীজদ্বয়ের গুণফল -2 হলে, k এর মান কত?
x^2-3x+k=10
অথবা, x^2-3x+(k-10)=0
এই সমীকরণের বীজদ্বয়ের গুণফল = \frac{\text{ধ্রুবক পদ}}{x^2 \text{ এর সহগ}}=\frac{(k-10)}{1}=k-10
প্রশ্নে দেওয়া আছে, বীজদ্বয়ের গুণফল = -2
অতএব, k-10=-2
⇒ k=8
(iii) ax^2+bx+c=0 \;(a\ne 0) সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব ও অসমান হলে, b^2-4ac হবে—
দ্বিঘাত সমীকরণ ax^2+bx+c=0 এর বীজদ্বয়ের প্রকৃতি নির্ধারণ করা হয় নিরূপক (Discriminant) \Delta = b^2-4ac দ্বারা।
✦ যদি \Delta \gt 0, তবে সমীকরণের দুটি বাস্তব ও অসমান বীজ থাকবে।
✦ যদি \Delta = 0, তবে সমীকরণের দুটি সমান বাস্তব বীজ থাকবে।
✦ যদি \Delta \lt 0, তবে সমীকরণের কোনো বাস্তব বীজ থাকবে না।
অতএব প্রদত্ত শর্ত অনুযায়ী, b^2-4ac \gt 0
(iv) ax^2+bx+c=0 \;(a\ne 0) সমীকরণের বীজদ্বয় সমান হলে,
সমাধানঃ
প্রদত্ত সমীকরণ ax^2+bx+c=0 \;(a\ne 0) এর বীজদ্বয় সমান হলে, নিরূপক \Delta=0 হতে হবে।
\Delta=b^2-4ac=0
⇒ b^2=4ac
⇒ c=\tfrac{b^2}{4a}
(v) 3x^2+8x+2=0 সমীকরণের বীজদ্বয় \alpha ও \beta হলে, \left(\tfrac{1}{\alpha}+\tfrac{1}{\beta}\right) এর মান কত?
সমাধানঃ
প্রদত্ত সমীকরণ 3x^2+8x+2=0
এখানে, বীজদ্বয়ের যোগফল
\alpha+\beta=-\dfrac{8}{3} \;\;\;\;(i)
[কারণ, বীজদ্বয়ের যোগফল = -\dfrac{\text{x এর সহগ}}{x^2 \text{এর সহগ}}]
এবং, বীজদ্বয়ের গুণফল
\alpha\beta=\dfrac{2}{3} \;\;\;\;(ii)
[কারণ, বীজদ্বয়ের গুণফল = \dfrac{\text{ধ্রুবক পদ}}{x^2 \text{এর সহগ}}]
এখন,
\tfrac{1}{\alpha}+\tfrac{1}{\beta}=\dfrac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}
⇒ \frac{-\tfrac{8}{3}}{\tfrac{2}{3}}
⇒ -\frac{8}{3}\times \frac{3}{2}
⇒ -4
(B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখিঃ
(i) x^2+x+1=0 সমীকরণের বীজগুলি বাস্তব।
নিরূপক = \Delta = b^2-4ac
এখানে, a=1, b=1, c=1
তাহলে, \Delta = 1^2 - 4 \times 1 \times 1 = 1 - 4 = -3
যেহেতু \Delta = -3 \lt 0, তাই সমীকরণের কোনো বাস্তব বীজ নেই, অর্থাৎ বীজদ্বয় কাল্পনিক।
\therefore প্রদত্ত বিবৃতিটি মিথ্যা।
(ii) x^2-x+2=0 সমীকরণের বীজগুলি বাস্তব নয়।
নিরূপক = \Delta = b^2-4ac
এখানে, a=1, b=-1, c=2
তাহলে, \Delta = (-1)^2 - 4 \times 1 \times 2 = 1 - 8 = -7
যেহেতু \Delta = -7 \lt 0, তাই সমীকরণের কোনো বাস্তব বীজ নেই, অর্থাৎ বীজদ্বয় কাল্পনিক।
\therefore প্রদত্ত বিবৃতিটি সত্য।
(C) শূন্যস্থান পূরণ করিঃ
(i) 7x^2-12x+18=0 সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমষ্টি এবং গুনফলের অনুপাত 2:3
প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকরণটি হলো 7x^2-12x+18=0।
প্রদত্ত সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমষ্টি = \frac{-\text{x এর সহগ}}{x^2 \text{এর সহগ}}=\frac{-(-12)}{7}=\frac{12}{7}
এবং, বীজদ্বয়ের গুণফল = \frac{\text{ধ্রুবক পদ}}{x^2 \text{এর সহগ}}=\frac{18}{7}
অতএব, বীজদ্বয়ের সমষ্টি ও গুণফলের অনুপাত = \frac{12}{7} : \frac{18}{7} = 12:18 = 2:3
(ii) ax^2+bx+c=0 \;(a \ne 0) সমীকরণের বীজদ্বয় পরস্পর অনন্যক হলে, c=a
ধরি, দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ \alpha।
অতএব অপর বীজটি হবে \tfrac{1}{\alpha} (কারণ বীজদ্বয় পরস্পর অনন্যক)।
এখন, বীজদ্বয়ের গুণফল = \alpha \cdot \tfrac{1}{\alpha}=1
কিন্তু, দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয়ের গুণফল = \frac{c}{a}
অতএব, \frac{c}{a}=1
⇒ c=a
(iii) ax^2+bx+c=0 \;(a \ne 0) সমীকরণের বীজদ্বয় পরস্পর অনন্যক এবং বিপরীত চিহ্নযুক্ত হলে, a+c=0
ধরি, ax^2+bx+c=0 দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ a।
অতএব অপর বীজটি হবে -\tfrac{1}{a} (কারণ পরস্পর অনন্যক এবং বিপরীত চিহ্নযুক্ত)।
এখন, বীজদ্বয়ের গুণফল = a \times \left(-\tfrac{1}{a}\right)=-1
কিন্তু, দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয়ের গুণফল = \frac{c}{a}
অতএব, \frac{c}{a}=-1
⇒ c=-a
⇒ a+c=0
13. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন(S.A)
(i) একটি দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমষ্টি 14 এবং গুণফল 24 হলে, দ্বিঘাত সমীকরণটি লিখ।
দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমষ্টি 14 এবং গুণফল 24 হলে, দ্বিঘাত সমীকরণ হবে
x^2-(\text{বীজদ্বয়ের যোগফল})x+(\text{বীজদ্বয়ের গুণফল})=0
অতএব,
x^2-14x+24=0
(ii) kx^2+2x+3k=0 \;(k \ne 0) সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমষ্টি এবং গুণফল সমান হলে, k এর মান লিখ।
প্রদত্ত সমীকরণ kx^2+2x+3k=0
বীজদ্বয়ের সমষ্টি = -\frac{\text{x এর সহগ}}{x^2 এর সহগ}=-\frac{2}{k}
বীজদ্বয়ের গুণফল = \frac{\text{ধ্রুবক পদ}}{x^2 এর সহগ}=\frac{3k}{k}=3
প্রশ্নানুযায়ী,
-\frac{2}{k}=3
⇒ k=-\frac{2}{3}
অতএব, k=-\frac{2}{3}।
(iii) x^2-22x+105=0 সমীকরণের বীজদ্বয় \alpha ও \beta হলে, (\alpha-\beta) এর মান লিখ।
প্রদত্ত সমীকরণ x^2-22x+105=0 এর বীজদ্বয় \alpha ও \beta।
অতএব,
\alpha+\beta=\frac{-(-22)}{1}=22
\alpha\beta=\frac{105}{1}=105
এখন, সূত্র অনুযায়ী,
(\alpha-\beta)^2=(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta
⇒ (\alpha-\beta)^2=22^2-4\times105
⇒ (\alpha-\beta)^2=484-420
⇒ (\alpha-\beta)^2=64
⇒ \alpha-\beta=\pm 8
(iv) x^2-x=k(2x-1) সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমষ্টি শূন্য হলে, k এর মান লিখ।
প্রদত্ত সমীকরণটি হলো,
x^2-x=k(2x-1)
⇒ x^2-x-2kx+k=0
⇒ x^2-(1+2k)x+k=0
এখন, এই সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমষ্টি = -\frac{\text{x এর সহগ}}{x^2 এর সহগ}
= -\dfrac{-(1+2k)}{1}=(1+2k)
শর্তানুসারে, বীজদ্বয়ের সমষ্টি = 0
অতএব, 1+2k=0
⇒ 2k=-1
⇒ k=-\tfrac{1}{2}
(v) x^2+bx+12=0 এবং x^2+bx+q=0 সমীকরণের একটি বীজ 2 হলে, q এর মান হিসাব করে লিখ।
প্রথম সমীকরণ x^2+bx+12=0 এর একটি বীজ 2 হলে,
2^2+2b+12=0
⇒ 4+2b+12=0
⇒ 2b+16=0
⇒ b=-8 \quad ...(i)
এবার, দ্বিতীয় সমীকরণ x^2+bx+q=0 এর একটি বীজও 2 হলে,
2, x^2+2b+q=0
⇒ 4+2b+q=0
(i) থেকে b=-8 বসালে,
4+2(-8)+q=0
⇒ 4-16+q=0
⇒ q=12
আমাদের লক্ষ্য সবসময় শিক্ষার্থীদের জন্য সঠিক ও নির্ভুল তথ্য প্রদান করা। তবুও অনিচ্ছাকৃতভাবে কোনো ভুল হয়ে গেলে, আমরা চাই সেটি যেন দ্রুত সংশোধন করা হয়।
যদি উপরের পোস্টটিতে কোনো ভুল বা অসঙ্গতি খুঁজে পান, অনুগ্রহ করে মন্তব্যে জানাবেন। আপনার সহযোগিতা আমাদের জন্য অমূল্য — কারণ আমরা চাই না কোনো শিক্ষার্থী ভুল শিখুক।
মনে রাখবেন: আপনার দেওয়া ছোট্ট একটি মন্তব্য অনেকের শেখার পথ সঠিক রাখতে সাহায্য করবে।
