Class 10 Mathematics Chapter 01 Koshe Dekhi 1.4 Question Answer
দশম শ্রেণীর গণিতের প্রথম অধ্যায় একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ থেকে কষে দেখি ১.৪ প্রশ্নোত্তরের সম্পূর্ণ সমাধান এখানে দেওয়া হলো। এই পোস্টে আপনি পাবেন Class 10 Mathematics Chapter 01 Koshe Dekhi 1.4 Question Answer ধাপে ধাপে ব্যাখ্যাসহ। প্রতিটি প্রশ্নকে সহজভাবে সমাধান করা হয়েছে যাতে শিক্ষার্থীরা বোর্ড পরীক্ষার প্রস্তুতিতে সহায়তা পায়।
1.
(i) 4x²+(2x-1)(2x+1)= 4x(2x-1) এই সমীকরণটির সমাধানে শ্রীধর আচার্যের সূত্র প্রয়োগ করা সম্ভব কিনা বুঝে লিখি।
বা, 4x²+ (2x)²- (1)²= 8x²-4x
বা, 4x² + 4x²-1 = 8x²-4x
বা, 8x² -1 = 8x² -4x
বা, 4x-1=0
\therefore প্রদত্ত সমীকরণ টি একটি দ্বিঘাত সমীকরণ নয় সুতরাং সমীকরণটিতে শ্রীধর আচার্যের সূত্র প্রয়োগ করা সম্ভব নয়।
(ii) শ্রীধর আচার্যের সুত্রের সাহায্যে আমরা কোন ধরনের সমীকরণের সমাধান করতে পারি?
(iii) 5x²+2x-7=0 সমীকরণে শ্রীধর আচার্যের সূত্র প্রয়োগ করে x=\frac{k±12}{10} পাওয়া গেলে k এর মান কত হবে?
প্রদত্ত সমীকরণ টিকে ax²+bx+c=0 সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই,
a= 5 , b= 2 এবং c=-7
শ্রীধর আচার্যের সূত্র প্রয়োগ করে পাই,
x=\dfrac{-b±\sqrt{(b^2-4ac)}}{2a}
বা, x=\frac{-2±\sqrt{(2^2-4×5×(-7))}}{2×5}
বা, x=\frac{-2±\sqrt{4+140}}{10}
বা, x=\frac{-2±\sqrt{144}}{10}
বা, x=\frac{-2±12}{10}
\therefore \frac{k±12}{10}=\frac{-2±12}{10}
\therefore k=-2
2. নিচের দ্বিঘাত সমীকরণ গুলির বাস্তব বীজ থাকলে শ্রীধর আচার্যের সূত্রের সাহায্যে সমাধান করো।
(i) 3x^2+11x-4=0
প্রদত্ত সমীকরণ টিকে ax^2+bx+c=0 সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই,
a= 3, b = 11 এবং c=-4
এখন,
নিরূপক = b^2-4ac = (11)^2-4(3)(-4) = 22+48 = 70 > 0
\therefore সমীকরণটির বাস্তব বীজ আছে।
শ্রীধর আচার্যের সূত্র প্রয়োগ করে পাই,
x=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
বা, x=\frac{-11±\sqrt{(11^2-4×3×(-4))}}{2×3}
বা, x=\frac{-11±\sqrt{(121+48)}}{6}
বা, x=\frac{-11±\sqrt{(169)}}{6}
বা, x=\frac{-11±13}{6}
\therefore x=\frac{-11-13}{6}
বা, x=\frac{-24}{6}
বা, x=-4
এবং, x=\frac{-11+13}{6}
বা, x=\frac{2}{6}
বা, x=\frac{1}{3}
\therefore নির্ণেয় সমাধান x = \frac{1}{3} এবং x= -4
(ii) (x-2)(x+4)+9=0
বা, x(x+4)-2(x+4)+9=0
বা, x^2-2x+4x-8+9=0
বা, x^2+2x+1=0
সমীকরণটিকে ax^2+bx+c=0 সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই,
a = 1, b = 2` এবং c = 1
নিরূপক = b^2-4ac = (2)^2-4(1)(1) = 4-4=0
\therefore প্রদত্ত সমীকরণটির বাস্তব বীজ আছে এবং তারা সমান।
এখন শ্রীধর আচার্যের সূত্রের সাহায্যে সমাধান করে পাই,
x=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
বা, x=\frac{-2±\sqrt{2^2-4×1×1}}{2×1}
বা, x=\frac{-2±\sqrt{4-4}}{2}
বা, x=\frac{-2±\sqrt{0}}{2}
বা, x=\frac{-2±0}{2}
\therefore x=\frac{-2-0}{2}
বা, x=-2/2
বা, x=-1
এবং, x=\frac{-2+0}{2}
বা, x=\frac{-2}{2}
বা, x=-1
\therefore নির্ণেয় সমাধান x = -1
(iii) (4x-3)^2 - 2(x+3)=0
বা, (4x)^2 - 2(4x)(3) + (3)^2 - 2x - 6 = 0
বা, 16x^2 - 24x + 9 - 2x - 6 = 0
বা, 16x^2 - 26x + 3 = 0
সমীকরণটিকে ax^2+bx+c=0 সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই,
a = 16, b = -26, c = 3
নিরূপক = b^2 - 4ac = (-26)^2 - 4(16)(3) = 676 - 192 = 484 > 0
\therefore প্রদত্ত সমীকরণের বীজগুলি বাস্তব।
শ্রীধর আচার্যের সূত্র প্রয়োগ করে পাই,
x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}
বা, x=\frac{-(-26) \pm \sqrt{(-26)^2 - 4 \times 16 \times 3}}{2 \times 16}
বা, x=\frac{26 \pm \sqrt{676 - 192}}{32}
বা, x=\frac{26 \pm \sqrt{484}}{32}
বা, x=\frac{26 \pm 22}{32}
\therefore x=\frac{26-22}{32}
বা, x=\frac{4}{32}
বা, x=\frac{1}{8}
এবং, x=\frac{26+22}{32}
বা, x=\frac{48}{32}
বা, x=\frac{3}{2}
বা, x=1 \tfrac{1}{2}
\therefore নির্ণেয় সমাধান x = \tfrac{1}{8} এবং x = \tfrac{3}{2}
(iv) 3x^2 + 2x - 1 = 0
সমীকরণটিকে ax^2+bx+c=0 সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই,
a = 3, b = 2, c = -1
নিরূপক = b^2 - 4ac = (2)^2 - 4(3)(-1) = 4 + 12 = 16 > 0
\therefore প্রদত্ত সমীকরণটির বীজগুলি বাস্তব।
এখন শ্রীধর আচার্যের সূত্র প্রয়োগ করে পাই,
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
বা, x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \times 3 \times (-1)}}{2 \times 3}
বা, x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 12}}{6}
বা, x = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{6}
বা, x = \frac{-2 \pm 4}{6}
\therefore x = \frac{-2 - 4}{6}
বা, x = \frac{-6}{6}
বা, x = -1
এবং, x = \frac{-2 + 4}{6}
বা, x = \frac{2}{6}
বা, x = \tfrac{1}{3}
\therefore নির্ণেয় সমাধান x = -1 এবং x = \tfrac{1}{3}
(v) 3x^2 + 2x + 1 = 0
প্রদত্ত সমীকরণটিকে ax^2+bx+c=0 সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই,
a = 3, b = 2, c = 1
নিরূপক = b^2 - 4ac = (2)^2 - 4(3)(1) = 4 - 12 = -8 \lt 0
\therefore প্রদত্ত সমীকরণটির কোনও বাস্তব বীজ নেই।
(vi) 10x^2 - x - 3 = 0
প্রদত্ত সমীকরণটিকে ax^2+bx+c=0 সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই,
a = 10, b = -1, c = -3
নিরূপক = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4(10)(-3) = 1 + 120 = 121 \gt 0
\therefore প্রদত্ত সমীকরণের বীজগুলি বাস্তব।
শ্রীধর আচার্যের সূত্রের সাহায্যে পাই,
x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}
বা, x=\frac{-(-1)\pm\sqrt{(-1)^2-4\times 10\times(-3)}}{2\times 10}
বা, x=\frac{1\pm\sqrt{1+120}}{20}
বা, x=\frac{1\pm\sqrt{121}}{20}
বা, x=\frac{1\pm 11}{20}
\therefore x=\frac{1-11}{20}
বা, x=\frac{-10}{20}
বা, x=-\tfrac{1}{2}
এবং, x=\frac{1+11}{20}
বা, x=\frac{12}{20}
বা, x=\tfrac{3}{5}
\therefore নির্ণেয় সমাধান x = -\tfrac{1}{2} এবং x = \tfrac{3}{5}
(vii) 10x^2 - x + 3 = 0
প্রদত্ত সমীকরণটিকে ax^2+bx+c=0 সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই,
a = 10, b = -1, c = 3
নিরূপক = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4(10)(3) = 1 - 120 = -119 \lt 0
\therefore সমীকরণের বীজগুলি কাল্পনিক।
(viii) 25x^2 - 30x + 7 = 0
প্রদত্ত সমীকরণটিকে ax^2+bx+c=0 সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই,
a = 25, b = -30, c = 7
নিরূপক = b^2 - 4ac = (-30)^2 - 4(25)(7) = 900 - 700 = 200 \gt 0
\therefore সমীকরণটির বীজগুলি বাস্তব।
শ্রীধর আচার্যের সূত্রের সাহায্যে পাই,
x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}
বা, x=\frac{-(-30)\pm\sqrt{(-30)^2-4\times 25 \times 7}}{2\times 25}
বা, x=\frac{30 \pm \sqrt{900 - 700}}{50}
বা, x=\frac{30 \pm \sqrt{200}}{50}
বা, x=\frac{30 \pm 10\sqrt{2}}{50}
\therefore x=\frac{10(3+\sqrt{2})}{50}
বা, x=\frac{3+\sqrt{2}}{5}
এবং, x=\frac{10(3-\sqrt{2})}{50}
বা, x=\frac{3-\sqrt{2}}{5}
\therefore নির্ণেয় সমাধান x=\tfrac{3+\sqrt{2}}{5} এবং x=\tfrac{3-\sqrt{2}}{5}
(ix) (4x-2)^2 + 6x = 25
বা, (4x)^2 - 2(4x)(2) + (2)^2 + 6x - 25 = 0
বা, 16x^2 - 16x + 4 + 6x - 25 = 0
বা, 16x^2 - 10x - 21 = 0
সমীকরণটিকে ax^2+bx+c=0 সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই,
a = 16, b = -10, c = -21
নিরূপক = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4(16)(-21) = 100 + 1344 = 1444 \gt 0
\therefore সমীকরণটির বীজগুলি বাস্তব।
শ্রীধর আচার্যের সূত্রের সাহায্যে পাই,
x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}
বা, x=\frac{-(-10)\pm\sqrt{(-10)^2-4\times 16\times(-21)}}{2\times 16}
বা, x=\frac{10 \pm \sqrt{100+1344}}{32}
বা, x=\frac{10 \pm \sqrt{1444}}{32}
বা, x=\frac{10 \pm 38}{32}
\therefore x=\frac{10+38}{32}
বা, x=\frac{48}{32}
বা, x=\tfrac{3}{2} = 1\tfrac{1}{2}
এবং, x=\frac{10-38}{32}
বা, x=\frac{-28}{32}
বা, x=-\tfrac{7}{8}
\therefore নির্ণেয় সমাধান x = 1\tfrac{1}{2} এবং x = -\tfrac{7}{8}
3. নিচের গানিতিক সমস্যা গুলি একচল বিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণে প্রকাশ করি এবং শ্রীধর আচার্যের সূত্রের সাহায্যে বা উৎপাদকের সাহায্যে সমাধান করিঃ
(i) সাথি একটি সমকোণী ত্রিভুজ অঙ্কন করেছে যার অতিভুজের দৈর্ঘ্য ক্ষুদ্রতম বাহুর দ্বিগুন অপেক্ষা 6 সেন্টিমিটার বেশি। যদি তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য অতিভুজের দৈর্ঘ্য থেকে 2 সেন্টিমিটার কম হয়, তবে সাথির আঁকা সমকোণী ত্রিভুজের বাহু তিনটির দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।
ধরি, সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষুদ্রতম বাহুর দৈর্ঘ্য x সেন্টিমিটার।
\therefore অতিভুজের দৈর্ঘ্য = 2x + 6 সেন্টিমিটার।
এবং তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য = (2x+6) - 2 = 2x + 4 সেন্টিমিটার।
সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে পিথাগোরাসের উপপাদ্য প্রয়োগ করে পাই,
(2x+6)^2 = x^2 + (2x+4)^2
বা, (2x)^2 + 2(2x)(6) + 6^2 = x^2 + (2x)^2 + 2(2x)(4) + 4^2
বা, 4x^2 + 24x + 36 = x^2 + 4x^2 + 16x + 16
বা, 4x^2 + 24x + 36 = 5x^2 + 16x + 16
দ্বিপক্ষ সমীকরণ শূন্যের দিকে আনলে,
4x^2 + 24x + 36 - 5x^2 - 16x - 16 = 0
বা, -x^2 + 8x + 20 = 0
বা, x^2 - 8x - 20 = 0
গুণিতক করলেই পাই,
x^2 - 10x + 2x - 20 = 0
\Rightarrow x(x-10) + 2(x-10) = 0
\Rightarrow (x-10)(x+2) = 0
দুটি রাশির গুণফল শূন্য হওয়ায়, হয় x-10=0 বা x+2=0।
\therefore x = 10 অথবা x = -2।
ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই গ্রহণ করি x = 10।
সুতরাং,
ক্ষুদ্রতম বাহু = x = 10 সেন্টিমিটার,
অতিভুজের দৈর্ঘ্য = 2x+6 = 26 সেন্টিমিটার,
তৃতীয় বাহু = 2x+4 = 24 সেন্টিমিটার।
\therefore ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 10 সেমি, 24 সেমি এবং 26 সেমি।
(ii) যদি দুই অঙ্কের দুটি ধনাত্মক সংখ্যা সংখ্যাকে উহার এককের ঘরের অঙ্ক দিয়ে গুন করলে গুণফল 189 হয় এবং দশকের ঘরের অঙ্ক এককের ঘরের অঙ্কের দ্বিগুণ হয়, তবে এককের ঘরের অঙ্কটি নির্ণয় করো।
ধরি, এককের ঘরের অঙ্কটি হলো x।
যেহেতু দশকের ঘরের অঙ্ক এককের ঘরের অঙ্কটির দ্বিগুণ,
\therefore দশকের ঘরের অঙ্কটি হবে = 2x।
\therefore সংখ্যাটি হবে = 10(2x) + x = 21x।
শর্তানুসারে, সংখ্যাকে তার এককের ঘরের অঙ্ক দিয়ে গুণ করলে পাই,
21x \times x = 189
বা, 21x^2 = 189
বা, x^2 = \dfrac{189}{21}
বা, x^2 = 9
বা, x^2 - 9 = 0
বা, x^2 - 3^2 = 0
বা, (x+3)(x-3)=0
দুটি রাশির গুণফল শূন্য হওয়ায়, হয় x+3=0 বা x-3=0।
অতএব x=-3 অথবা x=3।
চাইল্ড ধনাত্মক হওয়ায়, x ঋণাত্মক হতে পারে না।
\therefore x = 3।
\therefore এককের ঘরের অঙ্কটি হলো 3।
(iii) সালমার গতিবেগ অনিকের গতিবেগের থেকে 1 মিটার/সেকেন্ড বেশি। 180 মিটার দৌড়াতে গিয়ে সালমা অনিকের থেকে 2 সেকেন্ড আগে পৌঁছায়। অনিকের গতিবেগ প্রতি সেকেন্ডে কত মিটার, হিসাব করে লিখি।
ধরি, অনিকের গতিবেগ x মিটার/সেকেন্ড।
যেহেতু সালমার গতিবেগ অনিকের গতিবেগের থেকে 1 মি/সে বেশি,
\therefore সালমার গতিবেগ = x+1 মিটার/সেকেন্ড।
বা, 180 মিটার দৌড়াতে সালমার সময় লাগে = \dfrac{180}{x+1} সেকেন্ড।
বা, 180 মিটার দৌড়াতে অনিকের সময় লাগে = \dfrac{180}{x} সেকেন্ড।
শর্তানুসারে, অনিকের সময় থেকে সালমার সময় দুই সেকেন্ড কম, তাই
বা, \dfrac{180}{x} - \dfrac{180}{x+1} = 2
বা, \dfrac{180(x+1)-180x}{x(x+1)} = 2
বা, \dfrac{180x+180-180x}{x^2+x} = 2
বা, \dfrac{180}{x^2+x} = 2
\therefore 180 = 2x^2 + 2x
বা, 2x^2 + 2x - 180 = 0
বা, উভয় পক্ষকে 2 দিয়ে ভাগ করলে, x^2 + x - 90 = 0
বা, x^2 + 10x - 9x - 90 = 0
বা, x(x+10) - 9(x+10) = 0
বা, (x-9)(x+10) = 0
দুটি রাশির গুণফল শূন্য হওয়ায়, হয় x-9=0 বা x+10=0।
\therefore x=9 বা x=-10।
গতিবেগ ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই গ্রহণ করি x=9।
\therefore অনিকের গতিবেগ =9 মিটার/সেকেন্ড।
(iv) আমাদের পাড়ায় একটি বর্গক্ষেত্রাকার পার্ক আছে। ওই পার্কের একটি বাহুর দৈর্ঘ্যের চেয়ে 5 মিটার বেশি দৈর্ঘ্যের এবং ওই পার্কের বাহুর দৈর্ঘ্য থেকে 3 মিটার কম প্রস্থ বিশিষ্ট একটি আয়তক্ষেত্রাকার পার্কের ক্ষেত্রফল ঐ বর্গক্ষেত্রাকার পার্কের ক্ষেত্রফলের দ্বিগুণ অপেক্ষা 78 বর্গমিটার কম হলে বর্গক্ষেত্রাকার পার্কের বাহুর দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।
ধরি, বর্গক্ষেত্রাকার পার্কের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য x মিটার।
\therefore বর্গক্ষেত্রাকার পার্কের ক্ষেত্রফল = x^2 বর্গমিটার।
\therefore আয়তক্ষেত্রাকার পার্কের দৈর্ঘ্য = x+5 মিটার এবং প্রস্থ = x-3 মিটার।
\therefore আয়তক্ষেত্রাকার পার্কের ক্ষেত্রফল = (x+5)(x-3) বর্গমিটার।
শর্তানুসারে, আয়তক্ষেত্রাকার পার্কের ক্ষেত্রফল বর্গক্ষেত্রাকার পার্কের ক্ষেত্রফলের দ্বিগুণ অপেক্ষা 78 বর্গমিটার কম, তাই
বা, (x+5)(x-3) = 2x^2 - 78
বা, x(x-3) + 5(x-3) = 2x^2 - 78
বা, x^2 - 3x + 5x - 15 = 2x^2 - 78
বা, x^2 - 2x^2 - 3x + 5x - 15 + 78 = 0
বা, -x^2 + 2x + 63 = 0
বা, উভয় পাশে -1 দিয়ে গুণ করলে, x^2 - 2x - 63 = 0
বা, x^2 - 9x + 7x - 63 = 0
বা, x(x-9) + 7(x-9) = 0
বা, (x-9)(x+7) = 0
দুটি রাশির গুণফল শূন্য হওয়ায়, হয় x-9=0 বা x+7=0।
\therefore x = 9 অথবা x = -7।
ত্রিভুজ/পার্কের বাহুর দৈর্ঘ্য ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই গ্রহণ করি x = 9।
\therefore বর্গক্ষেত্রাকার পার্কের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য 9 মিটার।
(v) আমাদের গ্রামে প্রলয়বাবু তার আয়তক্ষেত্রাকার জমিতে লাগানোর জন্য মোট 350 লঙ্কার চারা কিনলেন। সারি ধরে চারা গাছ লাগাতে গিয়ে দেখলেন যে প্রতি সারিতে সারির সংখ্যার থেকে 24 টি করে বেশি গাছ লাগালে আরও 10 টি গাছ অতিরিক্ত থাকে। সারির সংখ্যা হিসাব করে লিখি।
ধরি, জমিতে সারির সংখ্যা x টি।
\therefore মোট চারা গাছের সংখ্যা =350 টি।
বা, প্রদত্ত শর্ত অনুযায়ী প্রতি সারিতে গাছের সংখ্যা যখন সারির সংখ্যার থেকে 24 টি বেশি করা হয়, তখন ফাঁকে পড়ে 10 টি গাছ অতিরিক্ত থাকে।
বা, ফলে প্রতি সারিতে গাছের সংখ্যা হওয়া উচিত =x+24 টি।
বা, অন্য দিকে (অতিরিক্ত 10 বাদ দিয়ে) প্রতি সারিতে গাছের বাস্তব গণনা হবে =\dfrac{350-10}{x}।
বা, শর্তানুসারে
\dfrac{350-10}{x} = x+24
বা, উভয় পাশে x গুণ করলে,
340 = x(x+24)
বা, সরল করে,
x^2 + 24x - 340 = 0
বা, আমরা সমীকরণটি গুণফল রুপে লিখি (ফ্যাক্টর করে),
x^2 + 34x - 10x - 340 = 0
বা, x(x+34) - 10(x+34) = 0
বা, (x-10)(x+34) = 0
বা, রাশির গুণফল শূন্য হওয়ায়, হয় x-10=0 বা x+34=0।
\therefore x=10 বা x=-34।
যেহেতু x হল সারির সংখ্যা — ঋণাত্মক হতে পারে না, সুতরাং গ্রহণ করি x=10।
\therefore সারির সংখ্যা = 10 টি।
(vi) জোসেফ ও কুন্তল একটি কারখানায় কাজ করে। জোসেফ একটি জিনিস তৈরি করতে কুন্তাল এর চেয়ে 5 মিনিট সময় কম নেয়। 6 ঘণ্টা কাজ করে জোসেফ কুন্তালের চেয়ে 6 টি জিনিস বেশি তৈরি করে। কুন্তল ওই একই সময় কতটি জিনিস তৈরি করে, হিসাব করে লিখি।
ধরি, একটি জিনিস তৈরি করতে কুন্তলের সময় লাগে x মিনিট।
\therefore জোসেফের সময় লাগে x-5 মিনিট।
বা, কুন্তল x মিনিটে তৈরি করে 1 জিনিস, তাই ১ মিনিটে তৈরি করে \dfrac{1}{x} টি জিনিস।
\therefore 6 ঘণ্টা = 6 \times 60 = 360 মিনিটে কুন্তল তৈরি করে \dfrac{360}{x} টি জিনিস।
বা, জোসেফ x-5 মিনিটে তৈরি করে 1 জিনিস, তাই ১ মিনিটে তৈরি করে \dfrac{1}{x-5} টি জিনিস।
\therefore 6 ঘণ্টায় জোসেফ তৈরি করে \dfrac{360}{x-5} টি জিনিস।
শর্তানুসারে, জোসেফ কুন্তালের চেয়ে 6 টি বেশি তৈরি করেছে, তাই
বা, \dfrac{360}{x-5} - \dfrac{360}{x} = 6
বা, \dfrac{360x - 360(x-5)}{x(x-5)} = 6
বা, \dfrac{360 \times 5}{x^2 - 5x} = 6
\therefore 1800 = 6x^2 - 30x
বা, 6x^2 - 30x - 1800 = 0
বা, উভয় পাশে 6 দ্বারা ভাগ করলে, x^2 - 5x - 300 = 0
বা, x^2 - 20x + 15x - 300 = 0
বা, x(x-20) + 15(x-20) = 0
বা, (x+15)(x-20) = 0
দুটি রাশির গুণফল শূন্য হওয়ায়, হয় x+15=0 বা x-20=0।
\therefore x = -15 বা x = 20।
যেহেতু সময় ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই গ্রহণ করি x = 20।
\therefore একটি জিনিস তৈরি করতে কুন্তলের সময় লাগে 20 মিনিট।
\therefore কুন্তল 6 ঘণ্টায় তৈরি করবে \dfrac{360}{20} = 18 টি জিনিস।
(vii) স্থির জলে একটি নৌকার গতিবেগ 8 কিমি প্রতি ঘন্টা। নৌকাটি 5 ঘণ্টায় স্রোতের অনুকূলে 15 কিমি এবং স্রোতের প্রতিকূলে 22 কিমি গেলে স্রোতের বেগ কত ছিল হিসাব করে লিখি।
ধরি, স্রোতের গতিবেগ x কিমি/ঘণ্টা।
স্থির জলে নৌকার গতিবেগ 8 কিমি/ঘণ্টা।
\therefore স্রোতের অনুকূলে নৌকার গতিবেগ (8+x) কিমি/ঘণ্টা।
এবং স্রোতের প্রতিকূলে নৌকার গতিবেগ (8-x) কিমি/ঘণ্টা।
অতএব,
স্রোতের অনুকূলে 15 কিমি যেতে সময় = \dfrac{15}{8+x} ঘণ্টা।
স্রোতের প্রতিকূলে 22 কিমি যেতে সময় = \dfrac{22}{8-x} ঘণ্টা।
শর্তানুসারে,
\dfrac{15}{8+x} + \dfrac{22}{8-x} = 5
বা, \dfrac{15(8-x) + 22(8+x)}{(8+x)(8-x)} = 5
বা, \dfrac{120 - 15x + 176 + 22x}{8^2 - x^2} = 5
বা, \dfrac{296 + 7x}{64 - x^2} = 5
\therefore 296 + 7x = 5(64 - x^2)
বা, 296 + 7x = 320 - 5x^2
বা, 5x^2 + 7x - 24 = 0
বা, 5x^2 + 15x - 8x - 24 = 0
বা, 5x(x+3) - 8(x+3) = 0
বা, (5x-8)(x+3) = 0
দুটি রাশির গুণফল শূন্য হওয়ায়, হয়
5x-8=0 \ \Rightarrow \ x=\dfrac{8}{5} = 1\dfrac{3}{5}
অথবা, x+3=0 \ \Rightarrow \ x=-3
যেহেতু গতিবেগ ঋণাত্মক হতে পারে না,
\therefore x = 1\dfrac{3}{5}
অতএব, স্রোতের বেগ 1\dfrac{3}{5} কিমি/ঘণ্টা।
(viii) একটি সুপারফাস্ট ট্রেন একটি এক্সপ্রেস ট্রেনের থেকে ঘন্টায় 15 কিমি বেশি বেগে যায়। একই সঙ্গে একটি স্টেশন থেকে ছেড়ে 180 কিমি দূরে অন্য একটি স্টেশনে সুপারফাস্ট ট্রেনটি 1 ঘন্টা আগে পৌঁছালো। সুপারফাস্ট ট্রেনটির গতিবেগ ঘণ্টায় কত কিমি ছিল, হিসাব করে লিখি।
ধরি, সুপারফাস্ট ট্রেনটির গতিবেগ x কিমি/ঘণ্টা।
\therefore এক্সপ্রেস ট্রেনের গতিবেগ = x-15 কিমি/ঘণ্টা।
বা, সুপারফাস্ট ট্রেন 180 কিমি যেতে সময় লাগে = \dfrac{180}{x} ঘণ্টা।
বা, এক্সপ্রেস ট্রেন 180 কিমি যেতে সময় লাগে = \dfrac{180}{x-15} ঘণ্টা।
শর্তানুসারে, সুপারফাস্ট ট্রেনটি এক্সপ্রেস ট্রেনের তুলনায় 1 ঘন্টা আগে পৌঁছায়, তাই
বা, \dfrac{180}{x-15} - \dfrac{180}{x} = 1
বা, \dfrac{180x - 180(x-15)}{x(x-15)} = 1
বা, \dfrac{180x - 180x + 2700}{x^2 - 15x} = 1
বা, \dfrac{2700}{x^2 - 15x} = 1
\therefore x^2 - 15x = 2700
বা, x^2 - 15x - 2700 = 0
বা, x^2 - 60x + 45x - 2700 = 0
বা, x(x-60) + 45(x-60) = 0
বা, (x-60)(x+45) = 0
দুটি রাশির গুণফল শূন্য হওয়ায়, হয় x-60=0 বা x+45=0।
\therefore x = 60 অথবা x = -45।
গতিবেগ ঋণাত্মক হতে পারে না, সুতরাং গ্রহণ করি x = 60।
\therefore সুপারফাস্ট ট্রেনের গতিবেগ 60 কিমি/ঘণ্টা।
(ix) রেহানা বাজারে গিয়ে দেখল, প্রতি কেজি মাছের দাম যদি x টাকা হয়, তবে ডালের দাম তা থেকে প্রতি কেজি 20 টাকা কম এবং চালের দাম প্রতি কেজি 40 টাকা কম। রেহানা 240 টাকার মাছ ও 240 টাকার ডাল কিনে মোট যে পরিমান মাছ ও ডাল পেল তা 280 টাকায় চাল কেনার পরিমানের সমান। রেহানা প্রতি কেজি মাছ কি দামে কিনেছিল, হিসাব করো।
ধরি, প্রতি কেজি মাছের দাম x টাকা।
বা, 240 টাকায় পাওয়া যায় মাছ =\dfrac{240}{x} কেজি।
বা, প্রতি কেজি ডালের দাম =x-20 টাকা, তাই 240 টাকায় পাওয়া যায় ডাল =\dfrac{240}{x-20} কেজি।
বা, প্রতি কেজি চালের দাম =x-40 টাকা, তাই 280 টাকায় পাওয়া যায় চাল =\dfrac{280}{x-40} কেজি।
শর্তানুসারে, মাছ ও ডালের মোট পরিমাণ চালের পরিমাণের সমান:
বা, \dfrac{240}{x} + \dfrac{240}{x-20} = \dfrac{280}{x-40}
বা, \dfrac{240(x-20) + 240x}{x(x-20)} = \dfrac{280}{x-40}
বা, \dfrac{480x - 4800}{x(x-20)} = \dfrac{280}{x-40}
বা, উভয় পাশে 40 দ্বারা ভাগ করলে,
\dfrac{12x - 120}{x(x-20)} = \dfrac{7}{x-40}
বা, \dfrac{12(x-10)}{x(x-20)} = \dfrac{7}{x-40}
বা, ক্রস-মাল্টিপ্লাই করে পাই,
12(x-10)(x-40) = 7x(x-20)
বা, 12(x^2 - 50x + 400) = 7x^2 - 140x
বা, 12x^2 - 600x + 4800 = 7x^2 - 140x
বা, 12x^2 - 600x + 4800 - 7x^2 + 140x = 0
বা, 5x^2 - 460x + 4800 = 0
বা, উভয় পাশে 5 দিয়ে ভাগ করলে,
x^2 - 92x + 960 = 0
বা, x^2 - 80x - 12x + 960 = 0
বা, x(x-80) - 12(x-80) = 0
বা, (x-12)(x-80) = 0
দুটি রাশির গুণফল শূন্য হওয়ায়, হয় x=12 বা x=80।
তবে যদি x=12 হয়, তাহলে ডালের দাম x-20 = -8 টাকা এবং চালের দাম x-40 = -28 টাকা — যা বাস্তবে সম্ভব না (মূল্য ঋণাত্মক হতে পারে না)।
\therefore গ্রহণ করি x = 80।
\therefore প্রতি কেজি মাছের দাম = 80 টাকা।
আমাদের লক্ষ্য সবসময় শিক্ষার্থীদের জন্য সঠিক ও নির্ভুল তথ্য প্রদান করা। তবুও অনিচ্ছাকৃতভাবে কোনো ভুল হয়ে গেলে, আমরা চাই সেটি যেন দ্রুত সংশোধন করা হয়।
যদি উপরের পোস্টটিতে কোনো ভুল বা অসঙ্গতি খুঁজে পান, অনুগ্রহ করে মন্তব্যে জানাবেন। আপনার সহযোগিতা আমাদের জন্য অমূল্য — কারণ আমরা চাই না কোনো শিক্ষার্থী ভুল শিখুক।
মনে রাখবেন: আপনার দেওয়া ছোট্ট একটি মন্তব্য অনেকের শেখার পথ সঠিক রাখতে সাহায্য করবে।
