Class 10 Mathematics Chapter 01 Koshe Dekhi 1.1 Question Answer দশম শ্রেণীর গণিতের প্রথম অধ্যায় “একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ” আমাদের জন্য একটি অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ অধ্যায়। এই অধ্যায়ে আমরা শিখব কীভাবে একটি দ্বিঘাত সমীকরণকে সহজ পদ্ধতিতে সমাধান করা যায়, তার মূল নির্ণয় করা হয় এবং সমাধানের বিভিন্ন ধাপ বোঝা যায়। এখানে আমরা বইয়ের প্রশ্নোত্তরগুলিকে পরিষ্কারভাবে উপস্থাপন করেছি, যাতে পরীক্ষার প্রস্তুতিতে শিক্ষার্থীরা সহজেই উপকৃত হতে পারে। ধাপে ধাপে সমাধানের মাধ্যমে বিষয়টি আরও স্পষ্ট ও বোধগম্য করে তোলা হয়েছে, যাতে গণিত শেখা হয় আনন্দময় ও নির্ভুল।
Class 10 Mathematics Chapter 01 Koshe Dekhi 1.1 Question Answer
Tips!
ওয়েবসাইটটি ডেস্কটপ বা ল্যাপটপে খুলুন — এতে সমীকরণগুলো বড় ও স্পষ্টভাবে দেখা যাবে, তাই ধাপে ধাপে সমাধানগুলো সহজে বোঝা যাবে।
কষে দেখি ১.১
1. নিচের বহুপদী সংখ্যামালার মধ্যে কোনটি/কোনগুলি দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যা মালা বুঝে লিখি
(i) x^2 - 7x + 2
উত্তরঃ এটি একটি দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যামালা কারণ এক্ষেত্রে বহুপদী সংখ্যামালার x এর সর্বোচ্চ ঘাত 2.
(ii) 7x^5 - x(x + 2)
উত্তরঃ 7x^5 - x(x + 2) = 7x^5 - x^2 - 2x এটি একটি বহুপদী সংখ্যামালা হলেও দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যামালা নয় কারণ এক্ষেত্রে x এর সর্বোচ্চ ঘাত 5.
(iii) 2x(x+5)+1
উত্তরঃ 2x(x+5)+1 = 2x^2+10x+1 এটি একটি দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যামালা কারণ এক্ষেত্রে বহুপদী সংখ্যামালার x এর সর্বোচ্চ ঘাত 2.
2. নীচের সমীকরণগুলির কোনটি ax^2+bx+c=0 , যেখানে a,b,c বাস্তব সংখ্যা এবং a \neq 0
(i) x - 1 + \frac{1}{x} = 6 \quad (x \ne 0)
উত্তরঃ x - 1 + \frac{1}{x} = 6
বা, \frac{x^2 - x + 1}{x} = 6
বা, x^2-x+1=6x
বা, x^2-x-6x+1 = 0
বা, x^2-7x+1 = 0
\therefore প্রদত্ত সমীকরণটিকে ax^2+bx+c=0 আকারে প্রকাশ করা গেল।
বা, \frac{x^2 - x + 1}{x} = 6
বা, x^2-x+1=6x
বা, x^2-x-6x+1 = 0
বা, x^2-7x+1 = 0
\therefore প্রদত্ত সমীকরণটিকে ax^2+bx+c=0 আকারে প্রকাশ করা গেল।
(ii) x + \frac{3}{x} = x^2 \quad (x \neq 0)
উত্তরঃ x + \frac{3}{x} = x^2
বা, \frac{x^2 + 3}{x} = x^2
বা, x^2 + 3 = x^3
বা, -x^3 + x^2 + 3 = 0
বা, x^3 - x^2 - 3 = 0
\therefore প্রদত্ত সমীকরণটিকে ax^2+bx+c=0 আকারে প্রকাশ করা গেল না।
বা, \frac{x^2 + 3}{x} = x^2
বা, x^2 + 3 = x^3
বা, -x^3 + x^2 + 3 = 0
বা, x^3 - x^2 - 3 = 0
\therefore প্রদত্ত সমীকরণটিকে ax^2+bx+c=0 আকারে প্রকাশ করা গেল না।
(iii) x^2 - 6\sqrt{x} + 2 = 0
উত্তরঃ x^2 - 6\sqrt{x} + 2 = 0
বা, x^2 - 6x^{\frac{1}{2}} + 2 = 0
\therefore প্রদত্ত সমীকরণটিকে ax^2+bx+c=0 আকারে প্রকাশ করা গেল না।
বা, x^2 - 6x^{\frac{1}{2}} + 2 = 0
\therefore প্রদত্ত সমীকরণটিকে ax^2+bx+c=0 আকারে প্রকাশ করা গেল না।
(iv) (x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4
উত্তরঃ (x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4
বা, x^2 - 4x + 4 = x^2 - 4x + 4
\therefore প্রদত্ত সমীকরণটিকে ax^2+bx+c=0 আকারে প্রকাশ করা গেল না কারণ এটি একটি অভেদ।
বা, x^2 - 4x + 4 = x^2 - 4x + 4
\therefore প্রদত্ত সমীকরণটিকে ax^2+bx+c=0 আকারে প্রকাশ করা গেল না কারণ এটি একটি অভেদ।
3. x^6 - x^3 - 2 = 0 সমীকরণটি চলের কোন ঘাতের সাপেক্ষে একটি দ্বিঘাত সমীকরণ তা নির্ণয় করি।
উত্তরঃ x^6 - x^3 - 2 = 0
বা, (x^3)^2 - x^3 - 2 = 0
বা, (x^3)^2 - x^3 - 2 = 0
\therefore প্রদত্ত সমীকরণটিকে ax^2+bx+c=0 আকারে প্রকাশ করা গেল।
\therefore প্রদত্ত সমীকরণ টি x^3 এর সাপেক্ষে একটি দ্বিঘাত সমীকরণ।
4. (i) (a-2)x^2+3x+5=0 সমীকরণটি a এর কোন মানের জন্য দ্বিঘাত সমীকরণ হবেনা তা নির্ণয় করি।
উত্তরঃ প্রদত্ত সমীকরণ টি দ্বিঘাত সমীকরণ হবেনা যদি a-2=0 হয়
(যেহেতু ax^2+bx+c=0 সমীকরণে x=0 হলে সমীকরণ টি দ্বিঘাত সমীকরণ হইনা)
\therefore a=2 হলে প্রদত্ত সমীকরণটি দ্বিঘাত সমীকরণ হবেনা।
(যেহেতু ax^2+bx+c=0 সমীকরণে x=0 হলে সমীকরণ টি দ্বিঘাত সমীকরণ হইনা)
\therefore a=2 হলে প্রদত্ত সমীকরণটি দ্বিঘাত সমীকরণ হবেনা।
(ii) \frac x{4-x}=\frac1{3x}, \left(x\ne0,x\ne4\right) কে ax^2+bx+c=0, \left(a\ne0\right) দ্বিঘাত সমীকরণের আকারে প্রকাশ করলে x এর সহগ কত হবে নির্ণয় করি।
উত্তরঃ \frac x{4-x}=\frac1{3x}
বা, 3x^2=4-x
বা, 3x^2+x-4=0
\therefore x এর সহগ 1
বা, 3x^2=4-x
বা, 3x^2+x-4=0
\therefore x এর সহগ 1
(iii) 3x^2+7x+23=(x+4)(x+3)+2 – কে ax^2+bx+c=0 (a≠0) দ্বিঘাত সমীকরনের আকারে প্রকাশ করি।
উত্তরঃ 3x^2+7x+23=(x+4)(x+3)+2
বা, 3x^2+7x+23=x^2+4x+3x+12+2
বা, 3x^2+7x+23=x^2+7x+14
বা, 3x^2-x^2+7x-7x+23-14=0
বা, 2x^2+9=0
বা, 2x^2+0x+9=0
\therefore প্রদত্ত সমীকরণটিকে ax^2+bx+c আকারে প্রকাশ করা গেল যেখানে a≠0।
বা, 3x^2+7x+23=x^2+4x+3x+12+2
বা, 3x^2+7x+23=x^2+7x+14
বা, 3x^2-x^2+7x-7x+23-14=0
বা, 2x^2+9=0
বা, 2x^2+0x+9=0
\therefore প্রদত্ত সমীকরণটিকে ax^2+bx+c আকারে প্রকাশ করা গেল যেখানে a≠0।
(iv) (x+2)^3=x(x^2-1) -কে ax^2+bx+c=0,(a≠0) দ্বিঘাত সমীকরনের আকারে প্রকাশ করি এবং x^2,x ও x^0 এর সহগ লিখি।
উত্তরঃ (x+2)^3=x(x^2-1)
বা, x^3+3x^2(2)+3x(2)^2+(2)^3=x^3-x
বা, x^3+6x^2+12x+8=x^3-x
বা, 6x^2+13x+8=0
\therefore প্রদত্ত সমীকরণটিকে ax^2+bx+c=0 আকারে প্রকাশ করা গেল যেখানে a≠0 এবং x^2 এর সহগ 6 , x এর সহগ 13 এবং x^0 এর সহগ 8।
বা, x^3+3x^2(2)+3x(2)^2+(2)^3=x^3-x
বা, x^3+6x^2+12x+8=x^3-x
বা, 6x^2+13x+8=0
\therefore প্রদত্ত সমীকরণটিকে ax^2+bx+c=0 আকারে প্রকাশ করা গেল যেখানে a≠0 এবং x^2 এর সহগ 6 , x এর সহগ 13 এবং x^0 এর সহগ 8।
5. নিচের বিবৃতি গুলি থেকে একচল বিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন করি।
(i) 42 কে দুটি অংশে বিভক্ত করো যাতে একটি অংশ অপর অংশের বর্গের সমান হয়।
উত্তরঃ ধরি, একটি অংশ x
\therefore অপর অংশ (42-x)
শর্তানুসারে,
x^2=(42-x)
বা, x^2+x-42=0
\therefore x^2+x-42=0 হল নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণ।
\therefore অপর অংশ (42-x)
শর্তানুসারে,
x^2=(42-x)
বা, x^2+x-42=0
\therefore x^2+x-42=0 হল নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণ।
(ii) দুটি ক্রমিক ধনাত্মক অযুগ্ম সংখ্যার গুনফল 143
উত্তরঃ ধরি একটি সংখ্যা x
\therefore অপর সংখ্যাটি হবে (x+2) [ যেহেতু ক্রমিক ধনাত্মক অযুগ্ম সংখ্যা ]
শর্তানুসারে,
x(x+2)=143
বা, x^2+2x-143=0
\therefore x^2+2x-143=0 হল নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণ।
\therefore অপর সংখ্যাটি হবে (x+2) [ যেহেতু ক্রমিক ধনাত্মক অযুগ্ম সংখ্যা ]
শর্তানুসারে,
x(x+2)=143
বা, x^2+2x-143=0
\therefore x^2+2x-143=0 হল নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণ।
(iii) দুটি ক্রমিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি 313।
উত্তরঃ ধরি, একটি সংখ্যা x
অপর সংখ্যা (x+1)
শর্তানুসারে,
x^2+(x+1)^2=313
বা,x^2+x^2+2x+1=313
বা, 2x^2+2x+1=313
বা, 2x^2+2x+1-313=0
বা 2x^2+2x-312=0
বা, x^2+x-156=0 [ উভয়পক্ষে 2 দ্বারা ভাগ করে পাই ]
\therefore x^2+x-156=0, হল নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণ।
অপর সংখ্যা (x+1)
শর্তানুসারে,
x^2+(x+1)^2=313
বা,x^2+x^2+2x+1=313
বা, 2x^2+2x+1=313
বা, 2x^2+2x+1-313=0
বা 2x^2+2x-312=0
বা, x^2+x-156=0 [ উভয়পক্ষে 2 দ্বারা ভাগ করে পাই ]
\therefore x^2+x-156=0, হল নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণ।
6. নিচের বিবৃতি গুলি থেকে একচল বিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন করি।
(i) একটি আয়তকার ক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য 15 মিটার এবং তার দৈর্ঘ্য প্রস্থ অপেক্ষা 3 মিটার বেশি।
উত্তরঃ ধরি , আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ x মিটার
\therefore আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য (x+3) মিটার
আয়তক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য =\sqrt{\text{দৈর্ঘ্য}^2 + \text{প্রস্থ}^2}
শর্তানুসারে,
\sqrt{x^2+\left(x+3\right)^2}=15
উভয়পক্ষ কে বর্গ করে পাই,
x^2+(x+3)^2=225
বা, x^2+x^2+2.x.3+(3)^2=225
বা, 2x^2+6x+9=225
বা, 2x^2+6x+9-225=0
বা, 2x^2+6x-216=0
বা, x^2+3x-108=0 [উভয়পক্ষে 2 দ্বারা ভাগ করে পাই ]
\therefore নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণটি হল x^2+3x-108=0
\therefore আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য (x+3) মিটার
আয়তক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য =\sqrt{\text{দৈর্ঘ্য}^2 + \text{প্রস্থ}^2}
শর্তানুসারে,
\sqrt{x^2+\left(x+3\right)^2}=15
উভয়পক্ষ কে বর্গ করে পাই,
x^2+(x+3)^2=225
বা, x^2+x^2+2.x.3+(3)^2=225
বা, 2x^2+6x+9=225
বা, 2x^2+6x+9-225=0
বা, 2x^2+6x-216=0
বা, x^2+3x-108=0 [উভয়পক্ষে 2 দ্বারা ভাগ করে পাই ]
\therefore নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণটি হল x^2+3x-108=0
(ii) এক ব্যাক্তি 80 টাকায়ে কয়েক কিগ্রা চিনি ক্রয় করলেন। যদি ওই টাকায়ে তিনি আর ও 4 কিগ্রা চিনি বেশি পেতেন তবে তার কিগ্রা প্রতি চিনির দাম 1 টাকা কম হত।
উত্তরঃ ধরি, প্রতি কিগ্রা চিনির মূল্য x টাকা
\therefore 80 টাকায়ে পাওয়া যাবে 80/x কিগ্রা চিনি।
এখন প্রতি কিগ্রা চিনির দাম (x-1) টাকা হলে, 80 টাকায়ে পাওয়া যাবে 80/(x-1) কিগ্রা চিনি।
শর্তানুসারে,
\frac{80}{x-1}-\frac{80}x=4
বা, \frac{80x-80\left(x-1\right)}{x\left(x-1\right)}=4
বা, \frac{80x-80x-80}{x^2-x}=4
বা, \frac{80}{x^2-x}=4
বা, 4\left(x^2-x\right)=80
বা, 4x^2-4x-80=0
বা, x^2-x-20=0 [উভয় পক্ষকে 4 দ্বারা ভাগ করে পায়]
\therefore নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণটি হল x^2-x-20 =0
\therefore 80 টাকায়ে পাওয়া যাবে 80/x কিগ্রা চিনি।
এখন প্রতি কিগ্রা চিনির দাম (x-1) টাকা হলে, 80 টাকায়ে পাওয়া যাবে 80/(x-1) কিগ্রা চিনি।
শর্তানুসারে,
\frac{80}{x-1}-\frac{80}x=4
বা, \frac{80x-80\left(x-1\right)}{x\left(x-1\right)}=4
বা, \frac{80x-80x-80}{x^2-x}=4
বা, \frac{80}{x^2-x}=4
বা, 4\left(x^2-x\right)=80
বা, 4x^2-4x-80=0
বা, x^2-x-20=0 [উভয় পক্ষকে 4 দ্বারা ভাগ করে পায়]
\therefore নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণটি হল x^2-x-20 =0
(iii) দুটি স্টেশন এর মধ্যে দূরত্ব 300 km ।একটি ট্রেন প্রথম স্টেশন থেকে সমবেগে দ্বিতীয় স্টেশন এ গেল । ট্রেন টির গতিবেগ ঘণ্টায়ে 5km বেশি হলে ট্রেন টির দ্বিতীয় স্টেশন এ যেতে 2 ঘণ্টা সময় কম লাগত।
উত্তরঃ ধরি, ট্রেন টির গতিবেগ xকিমি/ঘন্টা
\therefore 300 কিমি যেতে ট্রেনটির সময় লাগবে 300/x ঘন্টা [ যেহেতু , সময় = দূরত্ব /গতিবেগ]
ট্রেনটির গতিবেগ (x+5) কিমি প্রতি ঘণ্টা হলে, 300 কিমি যেতে সময় লাগবে 300/(x+5) ঘণ্টা [ যেহেতু , সময় = দূরত্ব /গতিবেগ]।
শর্তানুসারে,
\frac{300}x-\frac{300}{x+5}=2
বা, \frac{300\left(x+5\right)-300x}{x(x+5)}=2
বা, \frac{300x+1500-300x}{x(x+5)}=2
বা, \frac{1500}{x(x+5)}=2
বা, 2x\left(x+5\right)=1500
বা, 2x^2+10x-1500=0
বা, x^2+5x-750=0 [উভয় পক্ষকে 2 দ্বারা ভাগ করে পায়]
\therefore নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণটি হল x^2+5x-750=0
\therefore 300 কিমি যেতে ট্রেনটির সময় লাগবে 300/x ঘন্টা [ যেহেতু , সময় = দূরত্ব /গতিবেগ]
ট্রেনটির গতিবেগ (x+5) কিমি প্রতি ঘণ্টা হলে, 300 কিমি যেতে সময় লাগবে 300/(x+5) ঘণ্টা [ যেহেতু , সময় = দূরত্ব /গতিবেগ]।
শর্তানুসারে,
\frac{300}x-\frac{300}{x+5}=2
বা, \frac{300\left(x+5\right)-300x}{x(x+5)}=2
বা, \frac{300x+1500-300x}{x(x+5)}=2
বা, \frac{1500}{x(x+5)}=2
বা, 2x\left(x+5\right)=1500
বা, 2x^2+10x-1500=0
বা, x^2+5x-750=0 [উভয় পক্ষকে 2 দ্বারা ভাগ করে পায়]
\therefore নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণটি হল x^2+5x-750=0
(iv) একজন ঘড়ি বিক্রেতা একটি ঘড়ি ক্রয় করে 336 টাকায়ে বিক্রি করলেন। তিনি যত টাকায়ে ঘড়ি টি ক্রয় করেছিলেন শতকরা তত টাকা তার লাভ হল।
উত্তরঃ ধরি, ঘড়িটি তিনি x টাকায়ে ক্রয় করেছিলেন।
এবং ঘড়িটি বিক্রি করেছেন 336 টাকায়
\therefore লাভ = ক্রয়মূল্য – বিক্রয় মূল্য = (336-x) টাকা
\therefore শতকরা লাভ = \left(\frac{\text{লাভ}}{\text{ক্রয় মূল্য}}\right) \times 100 = \frac{336 - x}{x} \times 100\%
এবং ঘড়িটি বিক্রি করেছেন 336 টাকায়
\therefore লাভ = ক্রয়মূল্য – বিক্রয় মূল্য = (336-x) টাকা
\therefore শতকরা লাভ = \left(\frac{\text{লাভ}}{\text{ক্রয় মূল্য}}\right) \times 100 = \frac{336 - x}{x} \times 100\%
শর্তানুসারে,
\frac{336-x}x\times100=x
বা, \frac{(336-x)\times100}x=x
বা, (336-x)\times100=x^2
বা, 33600-100x=x^2
বা, x^2+100x-33600=0
\therefore নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণটি হল x^2+100x-33600=0
(v) স্রোতের বেগ ঘণ্টায় 2km হলে রতন মাঝি স্রোতের অনুকুলে 21km গিয়ে ওই দূরত্ব ফিরে আস্তে 10 ঘণ্টা সময় লাগে।
উত্তরঃ ধরি, নৌকার বেগ x কিমি/ঘণ্টা
\therefore স্রোতের অনুকুলে নৌকার বেগ =(x+2) কিমি/ঘণ্টা
এবং স্রোতের প্রতিকুলে নৌকার বেগ =(x-2) কিমি/ঘণ্টা
সময়=দুরত্ব/গতিবেগ
\therefore স্রোতের অনুকূলে 21 কিমি. যেতে সময় লাগে 21/(x+2) ঘণ্টা এবং স্রোতের প্রতিকূলে 21 কিমি. ফিরে আসতে সময় লাগে 21/(x-2) ঘণ্টা।
শর্তানুসারে,
\frac{21}{x+2}+\frac{21}{x-2}=10
বা, \frac{21\left(x-2\right)+21\left(x+2\right)}{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}=10
বা, \frac{21x-42+21x+42}{x^2-2^2}=10` `a^2-b^2=\left(a+b\right)\left(a-b\right)
বা, \frac{42x}{x^2-4}=10
বা, 42x=10\left(x^2-4\right)
বা, 42x=10x^2-40
বা, 10x^2-42x-40=0
বা, 5x^2-21x-20=0
\therefore নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণটি হল 5x^2-21x-20=0
\therefore স্রোতের অনুকুলে নৌকার বেগ =(x+2) কিমি/ঘণ্টা
এবং স্রোতের প্রতিকুলে নৌকার বেগ =(x-2) কিমি/ঘণ্টা
সময়=দুরত্ব/গতিবেগ
\therefore স্রোতের অনুকূলে 21 কিমি. যেতে সময় লাগে 21/(x+2) ঘণ্টা এবং স্রোতের প্রতিকূলে 21 কিমি. ফিরে আসতে সময় লাগে 21/(x-2) ঘণ্টা।
শর্তানুসারে,
\frac{21}{x+2}+\frac{21}{x-2}=10
বা, \frac{21\left(x-2\right)+21\left(x+2\right)}{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}=10
বা, \frac{21x-42+21x+42}{x^2-2^2}=10` `a^2-b^2=\left(a+b\right)\left(a-b\right)
বা, \frac{42x}{x^2-4}=10
বা, 42x=10\left(x^2-4\right)
বা, 42x=10x^2-40
বা, 10x^2-42x-40=0
বা, 5x^2-21x-20=0
\therefore নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণটি হল 5x^2-21x-20=0
(vi) আমাদের বারির বাগান পরিষ্কার করতে মহিম অপেহ্মা মজিদের 3 ঘণ্টা বেশি সময় লাগে। তারা উভয় একসঙ্গে কাজটি 2 ঘণ্টায়ে শেষ করতে পারে।
উত্তরঃ ধরি, মহিমের বাগান পরিষ্কার করতে সময় লাগে x ঘণ্টা
\therefore মজিদের সময় লাগে (x+3) ঘণ্টা
আরও ধরা যাক মোট কাজের পরিমাণ 1 অংশ।
\therefore মহিম x ঘণ্টায়ে কাজ করে 1 অংশ
\therefore মহিম 1 ঘণ্টায়ে কাজ করে 1/x অংশ
মজিদ (x+3) ঘণ্টায়ে কাজ করে 1 অংশ
\therefore মজিদ 1 ঘণ্টায়ে কাজ করে 1/(x+3) অংশ
\therefore তারা একত্রে 1 ঘণ্টায় কাজ করে \frac1x+\frac1{x+3} অংশ।
এবং তারা একত্রে 2 ঘণ্টায় কাজ কর 2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{ x+3}\right) অংশ।
শর্তানুসারে,
2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{ x+3}\right)=1
বা, \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{x+3}\right) = \frac{1}{2}
বা, \frac{(x+3)+x}{x\left(x+3\right)}=\frac{1}{2}
বা, \frac{2x+3}{x^2+3x}=\frac12
বা, 2\left(2x+3\right)=x^2+3x
বা, 4x+6=x^2+3x
বা, x^2+3x-4x-6=0
বা, x^2-x-6=0
\therefore নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণটি হল x^2-x-6=0
\therefore মজিদের সময় লাগে (x+3) ঘণ্টা
আরও ধরা যাক মোট কাজের পরিমাণ 1 অংশ।
\therefore মহিম x ঘণ্টায়ে কাজ করে 1 অংশ
\therefore মহিম 1 ঘণ্টায়ে কাজ করে 1/x অংশ
মজিদ (x+3) ঘণ্টায়ে কাজ করে 1 অংশ
\therefore মজিদ 1 ঘণ্টায়ে কাজ করে 1/(x+3) অংশ
\therefore তারা একত্রে 1 ঘণ্টায় কাজ করে \frac1x+\frac1{x+3} অংশ।
এবং তারা একত্রে 2 ঘণ্টায় কাজ কর 2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{ x+3}\right) অংশ।
শর্তানুসারে,
2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{ x+3}\right)=1
বা, \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{x+3}\right) = \frac{1}{2}
বা, \frac{(x+3)+x}{x\left(x+3\right)}=\frac{1}{2}
বা, \frac{2x+3}{x^2+3x}=\frac12
বা, 2\left(2x+3\right)=x^2+3x
বা, 4x+6=x^2+3x
বা, x^2+3x-4x-6=0
বা, x^2-x-6=0
\therefore নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণটি হল x^2-x-6=0
(vii) দুই অঙ্ক বিশিষ্ট একটি সংখ্যার একক স্থানীয় অঙ্ক টি দশক স্থানীয় অঙ্ক অপেহ্মা 6 বেশি এবং অঙ্ক দ্বয়ের গুনফল সংখ্যাটি থেকে 12 কম।
উত্তরঃ ধরি দুই অঙ্ক বিশিষ্ট সংখ্যার দশক স্থানীয় অঙ্ক x
\therefore একক স্থানীয় অঙ্ক হবে (x+6)
\therefore দুই অঙ্ক বিশিষ্ট সংখ্যাটি হল 10x+(x+6)=11x+6
শর্তানুসারে,
x(x+6)=(11x+6)–12
বা, x^2+6x=11x-6
বা, x^2+6x-11x+6=0
বা, x^2-5x+6=0
\therefore নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণটি হল x^2-5x+6=0
\therefore একক স্থানীয় অঙ্ক হবে (x+6)
\therefore দুই অঙ্ক বিশিষ্ট সংখ্যাটি হল 10x+(x+6)=11x+6
শর্তানুসারে,
x(x+6)=(11x+6)–12
বা, x^2+6x=11x-6
বা, x^2+6x-11x+6=0
বা, x^2-5x+6=0
\therefore নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণটি হল x^2-5x+6=0
(viii) 45 মিটার দীর্ঘ ও 40 মিটার প্রসস্থ একটি আয়তক্ষেত্রাকার খেলার মাঠের বাইরের চারপাশে সমান চওড়া একটি রাস্তা আছে এবং ওই রাস্তার ক্ষেত্রফল 450 বর্গ মিটার।
উত্তরঃ ধরি রাস্তাটি x মিটার চওড়া
\therefore রাস্তা সহ আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য (45+2x) মিটার
এবং রাস্তা সহ আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ (40+2x) মিটার
শর্তানুসারে,
(45+2x)×(40+2x)-(45×40)= 450
বা, 1800+90x+80x+4x^2-1800=450
বা, 4x^2+170x-450=0
বা, 2x^2+85x-225=0
\therefore নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণটি হল 2x^2+85x-225=0
\therefore রাস্তা সহ আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য (45+2x) মিটার
এবং রাস্তা সহ আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ (40+2x) মিটার
শর্তানুসারে,
(45+2x)×(40+2x)-(45×40)= 450
বা, 1800+90x+80x+4x^2-1800=450
বা, 4x^2+170x-450=0
বা, 2x^2+85x-225=0
\therefore নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণটি হল 2x^2+85x-225=0
📢 গুরুত্বপূর্ণ বার্তা
আমাদের লক্ষ্য সবসময় শিক্ষার্থীদের জন্য সঠিক ও নির্ভুল তথ্য প্রদান করা। তবুও অনিচ্ছাকৃতভাবে কোনো ভুল হয়ে গেলে, আমরা চাই সেটি যেন দ্রুত সংশোধন করা হয়।
যদি উপরের পোস্টটিতে কোনো ভুল বা অসঙ্গতি খুঁজে পান, অনুগ্রহ করে মন্তব্যে জানাবেন। আপনার সহযোগিতা আমাদের জন্য অমূল্য — কারণ আমরা চাই না কোনো শিক্ষার্থী ভুল শিখুক।
মনে রাখবেন: আপনার দেওয়া ছোট্ট একটি মন্তব্য অনেকের শেখার পথ সঠিক রাখতে সাহায্য করবে।
