Class 10 Mathematics Chapter 01 Koshe Dekhi 1.3 Question Answer
দশম শ্রেণীর গণিতের প্রথম অধ্যায় একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ থেকে কষে দেখি ১.৩ প্রশ্নোত্তর এখানে বিস্তারিতভাবে সমাধানসহ দেওয়া হলো। প্রতিটি MCQ প্রশ্ন ধাপে ধাপে সমাধান করা হয়েছে যাতে ছাত্রছাত্রীরা সহজে বিষয়টি বুঝতে পারে। গণিতের এই অধ্যায়টি বোর্ড পরীক্ষার জন্য অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ, তাই নিয়মিত অনুশীলনের মাধ্যমে ভালো নম্বর তোলা সম্ভব। কষে দেখি ১.৩ অংশের প্রশ্নগুলো সমাধান করলে শুধু পরীক্ষার প্রস্তুতিই শক্তিশালী হবে না, বরং যুক্তি নির্ভর চিন্তাভাবনার দক্ষতাও বৃদ্ধি পাবে।
1. দুটি ধনাত্মক সংখ্যার অন্তর 3 এবং তাদের বর্গের সমষ্টি 117। সংখ্যা দুটি হিসাব করে লিখি।
ধরি, একটি সংখ্যা x
\therefore অন্য সংখ্যা টি হবে (x+3)
শর্তানুসারে,
x^2 +(x+3)^2=117
বা, x^2+x^2+2 \cdot x \cdot 3+3^2=117
বা, 2x^2+6x+9-117=0
বা, 2x^2+6x-108=0
বা, x^2+3x-54=0
বা, x^2+(9-6)x-54=0
বা, x^2+9x-6x-54=0
বা, x(x+9)-6(x+9)=0
বা, (x+9)(x-6)=0
\therefore দুটি রাশির গুণফল শূন্য হলে,
(x+9)=0
x=-9
অথবা,
(x-6)=0
x=6
যেহেতু সংখ্যাটি ধনাত্মক, অতএব x-এর ঋণাত্মক মান অগ্রাহ্য করে পাই
\therefore x=6
অতএব, সংখ্যা দুটি হলো:
6 এবং 6+3=9
2. একটি ত্রিভুজের ভূমি তার উচ্চতা দ্বিগুণ অপেক্ষা 18 মিটার বেশি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 300 বর্গমিটার হলে তার উচ্চতা নির্ণয় করি।
\therefore ত্রিভুজের ভূমি = (2x+18) মিটার এবং ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = 360 বর্গমিটার।
শর্তানুসারে,
\tfrac{1}{2} \times (2x+18) \times x = 360
[যেহেতু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = \tfrac{1}{2} \times \text{\scriptsize ভূমি} \times \text{\scriptsize উচ্চতা} ]
বা, x(2x+18)=2 \times 360
বা, 2x^2+18x=720
বা, 2x^2+18x-720=0
বা, x^2+9x-360=0 [ উভয় পক্ষে 2 দ্বারা ভাগ করে ]
বা, x^2+(24-15)x-360=0
বা, x^2+24x-15x-360=0
বা, x(x+24)-15(x+24)=0
বা, (x+24)(x-15)=0
\therefore দুটি রাশির গুণফল শূন্য হলে,
(x+24)=0
x=-24
অথবা,
(x-15)=0
x=15
যেহেতু ত্রিভুজের উচ্চতা ঋণাত্মক হতে পারে না,
\therefore x=15
\therefore ত্রিভুজের উচ্চতা = 15 মিটার।
3. যদি একটি অখণ্ড ধনাত্মক সংখ্যার পাঁচ গুণ, তার বর্গের দ্বিগুণ অপেক্ষা 3 কম হয় তবে সংখ্যাটি নির্ণয় কর।
শর্তানুসারে,
2x^2-5x=3
বা, 2x^2-5x-3=0
বা, 2x^2-(6-1)x-3=0
বা, 2x^2-6x+x-3=0
বা, 2x(x-3)+1(x-3)=0
বা, (x-3)(2x+1)=0
যেহেতু দুটি সংখ্যার গুণফল শূন্য,
হয়
(x-3)=0
x=3
অথবা,
(2x+1)=0
x=-\tfrac{1}{2}
যেহেতু x একটি ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যা,
\therefore x=3
\therefore নির্ণেয় সংখ্যাটি হলো 3
4. দুটি স্থানের মধ্যে দূরত্ব 200 কিমি, এক স্থান হতে অপর স্থানে মোটর গাড়িতে যেতে যে সময় লাগে জীপগাড়িতে যেতে তার চেয়ে 2 ঘণ্টা সময় কম লাগে। মোটরগাড়ি অপেক্ষা জিপ গাড়ির গতিবেগ ঘন্টায় 5 কিমি বেশি হলে, মোটরগাড়ির গতিবেগ হিসাব করে লিখি।
\therefore জিপগাড়ির গতিবেগ = (x+5) কিমি/ঘন্টা।
এবং, অতিক্রান্ত দূরত্ব = 200 কিমি।
\therefore গাড়িটির সময় লাগে \tfrac{200}{x} ঘন্টা।
এবং জিপগাড়িটির সময় লাগে \tfrac{200}{x+5} ঘন্টা।
শর্তানুসারে, \tfrac{200}{x}-\tfrac{200}{x+5}=2
বা, \tfrac{200(x+5)-200x}{x(x+5)}=2
বা, \tfrac{200x+1000-200x}{x^2+5x}=2
বা, 1000=2x^2+10x
বা, 2x^2+10x-1000=0
বা, x^2+5x-500=0
বা, x^2+(25-20)x-500=0
বা, x^2+25x-20x-500=0
বা, x(x+25)-20(x+25)=0
বা, (x+25)(x-20)=0
\therefore দুটি রাশির গুণফল শূন্য হলে,
(x-20)=0
x=20
অথবা,
(x+25)=0
x=-25
যেহেতু গতিবেগ ঋণাত্মক হতে পারে না, x=20
\therefore মোটরগাড়ির গতিবেগ = 20 কিমি/ঘন্টা।
5. অমিতাদের আয়তক্ষেত্রাকার জমির ক্ষেত্রফল 2000 বর্গমিটার এবং পরিসীমা 180 মিটার । অমিতাদের আয়তক্ষেত্রাকার জমির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ হিসাব করে লিখি।
ধরি, দৈর্ঘ্য = x মিটার।
অতএব, প্রস্থ = (90-x) মিটার।
শর্তানুসারে, x(90-x)=2000
বা, 90x-x^2=2000
বা, x^2-90x+2000=0
বা, x^2-(50+40)x+2000=0
বা, x^2-50x-40x+2000=0
বা, x(x-50)-40(x-50)=0
বা, (x-50)(x-40)=0
যেহেতু দুটি রাশির গুণফল শূন্য,
হয় (x-50)=0
x=50
অথবা, (x-40)=0
x=40
\therefore আয়তক্ষেত্রাকার জমির দৈর্ঘ্য = 50 মিটার এবং প্রস্থ = (90-50)=40 মিটার।
6. দুই অঙ্কের একটি সংখ্যার দশকের ঘরের অংক এককের ঘরের অংক অপেক্ষা 3 কম । সংখ্যাটি থেকে উহার অংক দুটির গুনফল বিয়োগ করলে বিয়োগফল 15 হয় । সংখ্যাটির একক ঘরের অংক হিসাব করে লিখি ।
\therefore সংখ্যাটির দশকের ঘরের অঙ্ক = (x-3)
\therefore সংখ্যাটি হবে = 10(x-3)+x=11x-30
যেহেতু সংখ্যাটি থেকে উহার অঙ্কদ্বয়ের গুণফল বিয়োগ করলে বিয়োগফল = 15 হয়,
শর্তানুসারে,
(11x-30)-x(x-3)=15
বা, 11x-30-x^2+3x-15=0
বা, -x^2+14x-45=0
বা, x^2-14x+45=0
বা, x^2-(9+5)x+45=0
বা, x^2-9x-5x+45=0
বা, x(x-9)-5(x-9)=0
বা, (x-9)(x-5)=0
যেহেতু দুটি সংখ্যার গুণফল শূন্য,
হয় (x-9)=0
x=9
অথবা, (x-5)=0
x=5
\therefore এককের ঘরের অঙ্ক হলো 5 অথবা 9
7. আমাদের স্কুলের চৌবাচ্চায় দুটি নল আছে নল দুটি দিয়ে চৌবাচ্চাটি 11 \dfrac{1}{9} মিনিটে পূর্ণ হয় ।যদি নল দুটি আলাদা ভাবে খোলা থাকে তবে চৌবাচ্চাটি ভর্তি করতে একটি নল অপর নলটি থেকে 5 মিনিট বেশি সময় নেয় ,প্রত্যেকটি নল পৃথকভাবে চৌবাচ্চা থেকে কত সময়ে পূর্ণ করবে হিসাব করে লিখি ।
অতএব অপর নলের সময় লাগবে (x+5) মিনিট।
ধরি, সমগ্র চৌবাচ্চা = 1 অংশ।
\therefore প্রথম নল x মিনিটে পূর্ণ করে 1 অংশ।
প্রথম নল 1 মিনিটে পূর্ণ করে \tfrac{1}{x} অংশ।
আবার, দ্বিতীয় নল (x+5) মিনিটে পূর্ণ করে 1 অংশ।
দ্বিতীয় নল 1 মিনিটে পূর্ণ করে \tfrac{1}{x+5} অংশ।
\therefore দুটি নল একত্রে 1 মিনিটে পূর্ণ করে \tfrac{1}{x}+\tfrac{1}{x+5} অংশ।
অতএব দুটি নল একত্রে 11\tfrac{1}{9} মিনিটে পূর্ণ করে \tfrac{100}{9}\left(\tfrac{1}{x}+\tfrac{1}{x+5}\right) অংশ।
শর্তানুসারে,
\tfrac{100}{9}\left(\tfrac{1}{x}+\tfrac{1}{x+5}\right)=1
বা, \tfrac{1}{x}+\tfrac{1}{x+5}=\tfrac{9}{100}
বা, \tfrac{x+(x+5)}{x(x+5)}=\tfrac{9}{100}
বা, \tfrac{2x+5}{x(x+5)}=\tfrac{9}{100}
বা, 100(2x+5)=9x(x+5)
বা, 200x+500=9x^2+45x
বা, 9x^2+45x-200x-500=0
বা, 9x^2-155x-500=0
বা, 9x^2-(180-25)x-500=0
বা, 9x^2-180x+25x-500=0
বা, 9x(x-20)+25(x-20)=0
বা, (9x+25)(x-20)=0
যেহেতু দুটি রাশির গুণফল শূন্য,
\therefore (x-20)=0
x=20
অথবা, (9x+25)=0
x=-\tfrac{25}{9}
কিন্তু সময় ঋণাত্মক হতে পারে না,
\therefore x=20
অতএব, একটি নল চৌবাচ্চা পূর্ণ করে 20 মিনিটে
\therefore অপর নল চৌবাচ্চাটি পূর্ণ করবে (20+5)=25 মিনিটে।
8. পর্ণা ও পীযূষ কোন একটি কাজ একত্রে 4 দিনে সম্পন্ন করে । আলাদাভাবে একা কাজ করলে পর্নার যে সময় লাগবে , পীযুষের তার চেয়ে 6 দিন বেশি সময় লাগবে । পর্ণা একাকী কতদিনে কাজটি সম্পন্ন করবে করতে পারবে হিসাব করে লিখি।
\therefore প্রদত্ত শর্তানুসারে পীযুষের সময় লাগবে (x+6) দিন।
ধরি, সমগ্র কাজ = 1 অংশ।
পর্ণা x দিনে কাজ করে 1 অংশ।
পর্ণা 1 দিনে কাজ করে \tfrac{1}{x} অংশ।
এবং পীযূষ (x+6) দিনে কাজ করে 1 অংশ।
পীযূষ 1 দিনে কাজ করে \tfrac{1}{x+6} অংশ।
\therefore তারা একদিনে একত্রে মোট কাজ করে \tfrac{1}{x}+\tfrac{1}{x+6} অংশ।
\therefore তারা 4 দিনে একত্রে মোট কাজ করে 4\left(\tfrac{1}{x}+\tfrac{1}{x+6}\right) অংশ।
শর্তানুসারে,
4\left(\tfrac{1}{x}+\tfrac{1}{x+6}\right)=1
বা, \tfrac{1}{x}+\tfrac{1}{x+6}=\tfrac{1}{4}
বা, \tfrac{x+(x+6)}{x(x+6)}=\tfrac{1}{4}
বা, \tfrac{2x+6}{x(x+6)}=\tfrac{1}{4}
বা, 4(2x+6)=x(x+6)
বা, 8x+24=x^2+6x
বা, x^2+6x-8x-24=0
বা, x^2-2x-24=0
বা, x^2-(6-4)x-24=0
বা, x^2-6x+4x-24=0
বা, x(x-6)+4(x-6)=0
বা, (x+4)(x-6)=0
যেহেতু দুটি রাশির গুণফল শূন্য,
\therefore (x-6)=0
x=6
অথবা, (x+4)=0
x=-4
কিন্তু সময় ঋণাত্মক হতে পারে না,
\therefore x=6
\therefore পর্ণা একাকী কাজটি করতে পারবে 6 দিনে।
9. কলমের মূল্য প্রতি ডজনে 6 টাকা কমলে 30 টাকায় আরো তিনটি বেশি কলম পাওয়া যাবে । কমার পূর্বে প্রতি ডজন কলমের মূল্য নির্ণয় করি।
\therefore x টাকায় পাওয়া যাবে 12 টি কলম।
1 টাকায় পাওয়া যায় \tfrac{12}{x} টি কলম।
\therefore 30 টাকায় পাওয়া যায় \tfrac{30 \times 12}{x}=\tfrac{360}{x} টি কলম।
দাম হ্রাস পাওয়ার পরে প্রতি ডজন কলমের মূল্য (x-6) টাকা।
\therefore (x-6) টাকায় পাওয়া যায় 12 টি কলম।
1 টাকায় পাওয়া যায় \tfrac{12}{x-6} টি কলম।
\therefore 30 টাকায় পাওয়া যায় \tfrac{12 \times 30}{x-6}=\tfrac{360}{x-6} টি কলম।
শর্তানুসারে,
\tfrac{360}{x-6}-\tfrac{360}{x}=3
বা, 360\left(\tfrac{1}{x-6}-\tfrac{1}{x}\right)=3
বা, \tfrac{1}{x-6}-\tfrac{1}{x}=\tfrac{3}{360}=\tfrac{1}{120}
বা, \tfrac{x-(x-6)}{x(x-6)}=\tfrac{1}{120}
বা, \tfrac{6}{x(x-6)}=\tfrac{1}{120}
বা, 720=x(x-6)
বা, x^2-6x=720
বা, x^2-6x-720=0
বা, x^2-(30-24)x-720=0
বা, x^2-30x+24x-720=0
বা, x(x-30)+24(x-30)=0
বা, (x+24)(x-30)=0
যেহেতু দুটি রাশির গুণফল শূন্য,
\therefore (x-30)=0
x=30
অথবা, (x+24)=0
x=-24
কিন্তু কলমের মূল্য ঋণাত্মক হতে পারে না।
\therefore x=30
\therefore প্রতি ডজন কলমের মূল্য 30 টাকা।
10. অতি সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A)
(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (MCQ)
(i) একটি দ্বিঘাত সমীকরণের বীজ এর সংখ্যা
(ii) ax²+bx+c=0 দ্বিঘাত সমীকরণ হলে
(iii) একটি দ্বিঘাত সমীকরণের চলের সর্বোচ্চ ঘাত
(iv) 4(5x²-7x+2)=5(4x²-6x+3) সমীকরণটি
4(5x²-7x+2)=5(4x²-6x+3)
বা, 20x²-28x+8=20x²-30x+15
বা, 20x^2 -20x^2-28x+30x+8-15=0
বা, 2x-7=0 (এটি একটি রৈখিক সমীকরণ)
(v) \frac{x^2}{x}=6 সমীকরণের বীজ/বীজদ্বয়
(B) নিচের বিবৃতি গুলোর সত্য না মিথ্যা লিখি।
(i) (x-3)^2 = x^2-6x+9 একটি দ্বিঘাত সমীকরণ।
(x-3)^2 = x^2-6x+9
বা, x^2-2.x.3 +32=x^2-6x+9
বা, x^2-6x+9= x^2-6x+9
\therefore এটি একটি অভেদ।
(ii) x²=25 সমীকরণের একটি মাত্র বীজ 5
কারন -5 ও একটি বীজ।
(C) শূন্যস্থান পূরণ করি।
(i) যদি ax²+bx+c=0 সমীকরণটির a=0 এবং b≠0 হয় , তবে সমীকরণটি একটি রৈখিক সমীকরণ।
(ii) যদি একটি দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বীজই 1 হয়, তবে সমীকরণটি হল x²-2x+1=0
(iii) x²=6x সমীকরণের বীজদ্বয় 0 ও 6
11. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A)
(i) x²+ax+3=0 সমীকরণের একটি বীজ 1 হলে, a – এর মান নির্ণয় করি।
\therefore (1)²+a(1)+3=0
বা, 1+a+3=0
বা, a=-4
(ii) x²-(2+b)x+6=0 সমীকরণের একটি বীজ 2 হলে , অপর বীজটির মান লিখি।
ধরি, অপর বীজ = a
\therefore 2a=6 [ \because দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয়ের গুনফল = ধ্রুবক পদ/x^2 -এর সহগ ]
বা, a = 6/2
বা, a = 3
\therefore অপর বীজটির মান = 3
(iii) 2x²+kx+4=0 সমীকরণের একটি বীজ 2 হলে, অপর বীজটির মান লিখি।
\therefore 2a= 4/2 [ \because দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয়ের গুনফল = ধ্রুবক পদ/x^2 -এর সহগ ]
বা, 2a= 2
বা, a = 1
\therefore অপর বীজটির মান = 1
(iv) একটি প্রকৃত ভগ্নাংশ ও তার অনোন্যক -এর অন্তর \frac{9}{20}, সমীকরণটি লিখি।
\therefore তার অনোন্যক হবে \frac{1}{x}
শর্তানুসারে,
x-\frac{1}{x}=\frac{9}{20}
বা, \frac{(x^2-1)}{x}=\frac{9}{20}
বা, 20(x²-1)= 9x
বা, 20x²-20 = 9x
বা, 20x²-9x-20=0
\therefore সমীকরণ টি হল 20x²-9x-20=0
(v) ax²+bx+35=0 সমীকরণের বীজদ্বয় -5 ও -7 হলে, a এবং b -এর মান লিখি ।
[ \therefore দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয়ের গুনফল = ধ্রুবক পদ/x^2 -এর সহগ ]
বা, 35 = \frac{35}{a}
বা, a= \frac{35}{35}
বা, a =1
আবার -5+(-7) = \frac{-b}{a}
[ \because দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয়ের যোগফল = -\left(\dfrac{x\text{-এর সহগ}}{x^2\text{-এর সহগ}}\right) ]
বা, -5-7 = \frac{-b}{1}
বা, -12 =-b
বা, b =12
∴ a -এর মান 1 এবং b -এর মান 12
আমাদের লক্ষ্য সবসময় শিক্ষার্থীদের জন্য সঠিক ও নির্ভুল তথ্য প্রদান করা। তবুও অনিচ্ছাকৃতভাবে কোনো ভুল হয়ে গেলে, আমরা চাই সেটি যেন দ্রুত সংশোধন করা হয়।
যদি উপরের পোস্টটিতে কোনো ভুল বা অসঙ্গতি খুঁজে পান, অনুগ্রহ করে মন্তব্যে জানাবেন। আপনার সহযোগিতা আমাদের জন্য অমূল্য — কারণ আমরা চাই না কোনো শিক্ষার্থী ভুল শিখুক।
মনে রাখবেন: আপনার দেওয়া ছোট্ট একটি মন্তব্য অনেকের শেখার পথ সঠিক রাখতে সাহায্য করবে।
