Class 6 Mathematics Chapter 01 Koshe Dekhi 1.2 Question Answer
ষষ্ঠ শ্রেণীর গণিতের প্রথম অধ্যায় “পূর্বপাঠের পুনরালোচনা” শিক্ষার্থীদের জন্য গুরুত্বপূর্ণ। এর “কষে দেখি ১.২” অংশে সংখ্যা, গ.সা.গু., ল.সা.গু. ও মৌলিক গাণিতিক ক্রিয়ার অনুশীলন রয়েছে। এই অংশ শিক্ষার্থীদের আগের শ্রেণির ধারণাগুলো পুনরায় ঝালিয়ে নিতে সাহায্য করে। ধাপে ধাপে সমাধানের মাধ্যমে তারা সহজে বুঝতে পারে কিভাবে সমস্যার সমাধান করতে হয়। এই অনুশীলনগুলো যুক্তি ও বিশ্লেষণ ক্ষমতা বাড়ায় এবং ভবিষ্যতের গণিত অধ্যয়নের ভিত্তি শক্ত করে। এই ব্লগে আমরা “কষে দেখি ১.২”-এর সব প্রশ্নের সহজ, স্পষ্ট ও ব্যাখ্যাসহ সমাধান তুলে ধরেছি যাতে শিক্ষার্থীরা সহজে শিখতে পারে।
2. (a) 14 -এর মৌলিক উৎপাদক কী কী?
(b) সবচেয়ে ছোটো মৌলিক সংখ্যা কী?
(c) কোন সংখ্যা মৌলিকও নয় আবার যৌগিকও নয়?
উত্তরঃ
(a) 14-এর মৌলিক উৎপাদক নির্ণয় করতে হলে সংখ্যাটিকে মৌলিক গুণনে বিশ্লেষণ করতে হবে —
14 = 2 \times 7
অতএব, 14-এর মৌলিক উৎপাদক হলো — 2 ও 7
(b) সবচেয়ে ছোটো মৌলিক সংখ্যা হলো — 2
(c) সংখ্যা 1 না মৌলিক, না যৌগিক।
অতএব, 1 হলো সেই সংখ্যা যা মৌলিকও নয় আবার যৌগিকও নয়।
3. (A) 42 কোন কোন সংখ্যার গুণিতক — (a) 7 (b) 13 (c) 5 (d) 6
(B) 11 কোন সংখ্যার গুণনীয়ক — (a) 101 (b) 111 (c) 121 (d) 112
উত্তরঃ
(A) 42 সংখ্যাটি 7 এবং 6 দ্বারা বিভাজ্য।
কারণ, 42 \div 7 = 6 এবং 42 \div 6 = 7
অতএব, 42 হলো 7 ও 6-এর গুণিতক।
সঠিক উত্তর: (a) 7 এবং (d) 6
(B) 11 × 11 = 121
অতএব, 11 হলো 121-এর গুণনীয়ক।
সঠিক উত্তর: (c) 121
4. সংখ্যাজোড়ার মধ্যে কোনগুলি পরস্পর মৌলিক সংখ্যা দেখো:
(a) 5, 7 (b) 10, 21 (c) 10, 15 (d) 16, 15
উত্তরঃ
দুটি সংখ্যা পরস্পর মৌলিক হলে তাদের মহাগুণনীয়ক (HCF) হবে 1
(a) 5 এবং 7-এর HCF = 1
(b) 10 এবং 21-এর HCF = 1
(c) 10 এবং 15-এর HCF = 5
(d) 16 এবং 15-এর HCF = 1
অতএব, পরস্পর মৌলিক সংখ্যাজোড়া হলো — (5, 7), (10, 21) এবং (16, 15)
সঠিক উত্তর: (a), (b), (d)
5. এমন দুটি যৌগিক সংখ্যা খুঁজে যাদের পরস্পর মৌলিক।
উত্তরঃ
দুটি সংখ্যা পরস্পর মৌলিক হলে তাদের মহাগুণনীয়ক (HCF) হবে 1
ধরা যাক 8 এবং 9
8 = 2 \times 2 \times 2
9 = 3 \times 3
দুটি সংখ্যার মধ্যে কোনো সাধারণ গুণনীয়ক নেই।
অতএব, \text{HCF}(8, 9) = 1
সুতরাং, 8 এবং 9 হলো দুটি যৌগিক সংখ্যা যারা পরস্পর মৌলিক।
6. (a) পরস্পর মৌলিক সংখ্যার গ.সা.গু. কত লিখি।
(b) পরস্পর মৌলিক সংখ্যার ল.সা.গু. কত লিখি।
উত্তরঃ
(a) পরস্পর মৌলিক সংখ্যার গ.সা.গু. (গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক) সর্বদা 1 হয়।
অতএব, পরস্পর মৌলিক সংখ্যার গ.সা.গু. = 1
(b) পরস্পর মৌলিক সংখ্যার ল.সা.গু. (লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক) হলো তাদের গুণফল।
অতএব, পরস্পর মৌলিক সংখ্যার ল.সা.গু. = দুটি সংখ্যার গুণফল
উদাহরণস্বরূপ, 3 এবং 4 পরস্পর মৌলিক।
গ.সা.গু.(3,4) = 1
ল.সা.গু.(3,4) = 3 \times 4 = 12
7. নিচের সংখ্যাগুলি ১ এবং মৌলিক উৎপাদককে বিশ্লেষণ করে গ.সা.গু. খুঁজিঃ
(a) 22, 44 (b) 54, 72 (c) 27, 64 (d) 36, 30 (e) 28, 35, 49 (f) 30, 72, 96 (g) 20, □ , □ [শূন্য ছাড়া সংখ্যা বসাও]
উত্তরঃ
(a) 22 = 2 \times 11, 44 = 2^2 \times 11
গ.সা.গু. = 2 \times 11 = 22
(b) 54 = 2 \times 3^3, 72 = 2^3 \times 3^2
গ.সা.গু. = 2^1 \times 3^2 = 18
(c) 27 = 3^3, 64 = 2^6
গ.সা.গু. = 1
(d) 36 = 2^2 \times 3^2, 30 = 2 \times 3 \times 5
গ.সা.গু. = 2 \times 3 = 6
(e) 28 = 2^2 \times 7, 35 = 5 \times 7, 49 = 7^2
গ.সা.গু. = 7
(f) 30 = 2 \times 3 \times 5, 72 = 2^3 \times 3^2, 96 = 2^5 \times 3
গ.সা.গু. = 2^1 \times 3^1 = 6
(g) উদাহরণস্বরূপ, যদি ধরা হয় 20, 30, 40
20 = 2^2 \times 5, 30 = 2 \times 3 \times 5, 40 = 2^3 \times 5
গ.সা.গু. = 2^1 \times 5 = 10
8. সংখ্যাগুলির ভাগ পদ্ধতিতে গ.সা.গু. খুঁজিঃ
(a) 28, 35 (b) 54, 72 (c) 27, 63 (d) 25, 35, 45 (e) 48, 72, 96
উত্তরঃ
(a) 28 এবং 35
35 ÷ 28 = 1 অবশিষ্ট 7
28 ÷ 7 = 4 অবশিষ্ট 0
অতএব, গ.সা.গু. = 7
(b) 54 এবং 72
72 ÷ 54 = 1 অবশিষ্ট 18
54 ÷ 18 = 3 অবশিষ্ট 0
অতএব, গ.সা.গু. = 18
(c) 27 এবং 63
63 ÷ 27 = 2 অবশিষ্ট 9
27 ÷ 9 = 3 অবশিষ্ট 0
অতএব, গ.সা.গু. = 9
(d) 25, 35, 45
25 এবং 35 এর গ.সা.গু. = 5
এখন, 45 এবং 5 এর গ.সা.গু. = 5
অতএব, গ.সা.গু. = 5
(e) 48, 72, 96
48 এবং 72 এর গ.সা.গু. = 24
এখন, 96 এবং 24 এর গ.সা.গু. = 24
অতএব, গ.সা.গু. = 24
9. নিচের সংখ্যাগুলি মৌলিক উৎপাদককে বিশ্লেষণ করে ল.সা.গু. খুঁজিঃ
(a) 25, 80 (b) 36, 39 (c) 32, 56 (d) 36, 48 এবং 72 (e) 25, 35 এবং 45 (f) 32, 40 এবং 84
উত্তরঃ
(a) 25 = 5^2, 80 = 2^4 \times 5
ল.সা.গু. = 2^4 \times 5^2 = 16 \times 25 = 400
(b) 36 = 2^2 \times 3^2, 39 = 3 \times 13
ল.সা.গু. = 2^2 \times 3^2 \times 13 = 4 \times 9 \times 13 = 468
(c) 32 = 2^5, 56 = 2^3 \times 7
ল.সা.গু. = 2^5 \times 7 = 32 \times 7 = 224
(d) 36 = 2^2 \times 3^2, 48 = 2^4 \times 3, 72 = 2^3 \times 3^2
ল.সা.গু. = 2^4 \times 3^2 = 16 \times 9 = 144
(e) 25 = 5^2, 35 = 5 \times 7, 45 = 3^2 \times 5
ল.সা.গু. = 3^2 \times 5^2 \times 7 = 9 \times 25 \times 7 = 1575
(f) 32 = 2^5, 40 = 2^3 \times 5, 84 = 2^2 \times 3 \times 7
ল.সা.গু. = 2^5 \times 3 \times 5 \times 7 = 32 \times 105 = 3360
10. সংখ্যাজোড়ার মধ্যে কোনগুলি পরস্পর মৌলিক খুঁজিঃ
(a) 47, 23 (b) 25, 9 (c) 49, 35 (d) 36, 54
উত্তরঃ
(a) 47 এবং 23 — উভয়ই মৌলিক সংখ্যা, এবং তাদের কোনো সাধারণ গুণনীয়ক নেই।
অতএব, 47 ও 23 পরস্পর মৌলিক।
(b) 25 = 5^2, 9 = 3^2
সাধারণ গুণনীয়ক নেই, তাই পরস্পর মৌলিক।
(c) 49 = 7^2, 35 = 5 \times 7
সাধারণ গুণনীয়ক 7 আছে, তাই পরস্পর মৌলিক নয়।
(d) 36 = 2^2 \times 3^2, 54 = 2 \times 3^3
সাধারণ গুণনীয়ক 2 এবং 3 আছে, তাই পরস্পর মৌলিক নয়।
অতএব, পরস্পর মৌলিক সংখ্যাজোড়া হলো — (a) 47, 23 এবং (b) 25, 9।
11. সংক্ষিপ্ত ভাগ পদ্ধতিতে নিচের সংখ্যাগুলির গ.সা.গু. ও ল.সা.গু. নির্ণয় করিঃ
(a) 33 এবং 132 (b) 90 এবং 144 (c) 32, 40 এবং 72 (d) 28, 49, 70
উত্তরঃ
(a) 33 এবং 132
132 ÷ 33 = 4 অবশিষ্ট 0
গ.সা.গু. = 33
ল.সা.গু. = \frac{33 \times 132}{33} = 132
(b) 90 এবং 144
144 ÷ 90 = 1 অবশিষ্ট 54
90 ÷ 54 = 1 অবশিষ্ট 36
54 ÷ 36 = 1 অবশিষ্ট 18
36 ÷ 18 = 2 অবশিষ্ট 0
গ.সা.গু. = 18
ল.সা.গু. = \frac{90 \times 144}{18} = 720
(c) 32, 40 এবং 72
32 এবং 40 এর গ.সা.গু. = 8
এখন, 72 এবং 8 এর গ.সা.গু. = 8
অতএব, গ.সা.গু. = 8
ল.সা.গু. = \frac{32 \times 40 \times 72}{8^2} = 1152
(d) 28, 49 এবং 70
28 এবং 49 এর গ.সা.গু. = 7
70 এবং 7 এর গ.সা.গু. = 7
অতএব, গ.সা.গু. = 7
ল.সা.গু. = \frac{28 \times 49 \times 70}{7^2} = 1960
12. সবচেয়ে ছোটো সংখ্যা খুঁজে যা 18, 24 ও 42 দিয়ে বিভাজ্য।
উত্তরঃ
সংখ্যাগুলির মৌলিক গুণনীয়ক বিশ্লেষণ করি —
18 = 2 \times 3^2
24 = 2^3 \times 3
42 = 2 \times 3 \times 7
সবচেয়ে ছোটো সংখ্যা (ল.সা.গু.) = 2^3 \times 3^2 \times 7
= 8 \times 9 \times 7 = 504অতএব, সবচেয়ে ছোটো সংখ্যা যা 18, 24 ও 42 দ্বারা বিভাজ্য, তা হলো 504।
13. সবচেয়ে বড়ো সংখ্যা খুঁজে যা দিয়ে 45 ও 60-কে ভাগ করলে কোনো ভাগশেষ থাকবে না।
উত্তরঃ
প্রদত্ত সংখ্যাগুলি 45 ও 60।
অতএব, সবচেয়ে বড়ো সংখ্যা যা উভয়কে নিঃশেষে ভাগ করবে, তা হবে তাদের গ.সা.গু.।
45 = 3^2 \times 5
60 = 2^2 \times 3 \times 5
গ.সা.গু. = 3^1 \times 5^1 = 15
অতএব, সবচেয়ে বড়ো সংখ্যা যা 45 ও 60-কে নিঃশেষে ভাগ করবে, তা হলো 15।
14. দুটি সংখ্যার ল.সা.গু. ও গ.সা.গু. যথাক্রমে 252 ও 6; সংখ্যা দুটির গুণফল কত তা হিসাব করি।
উত্তরঃ
ধরা যাক দুটি সংখ্যা হলো a ও b।
সুত্রঃ
a \times b = ল.সা.গু. \times গ.সা.গু.
প্রদত্তঃ
ল.সা.গু. = 252
গ.সা.গু. = 6
অতএব,
a \times b = 252 \times 6 = 1512
অতএব, সংখ্যা দুটির গুণফল হলো 1512।
15. দুটি সংখ্যার গ.সা.গু. ও ল.সা.গু. যথাক্রমে 8 ও 280; একটি সংখ্যা 56 হলে অপর সংখ্যাটি কত হিসাব করি।
উত্তরঃ
সুত্রঃ
দুটি সংখ্যার গুণফল = গ.সা.গু. \times ল.সা.গু.
প্রদত্তঃ
গ.সা.গু. = 8, ল.সা.গু. = 280, একটি সংখ্যা = 56
অতএব,
অপর সংখ্যা = \frac{\text{গ.সা.গু.} \times \text{ল.সা.গু.}}{\text{প্রথম সংখ্যা}}
অতএব, অপর সংখ্যাটি হলো 40।
16. দুটি সংখ্যার গ.সা.গু. 1; সংখ্যা দুটি লিখি।
উত্তরঃ
যদি দুটি সংখ্যার গ.সা.গু. 1 হয়, তবে তারা পরস্পর মৌলিক সংখ্যা।
উদাহরণস্বরূপ —
3 এবং 4
কারণ \text{HCF}(3, 4) = 1
অতএব, সংখ্যা দুটি হলো 3 ও 4।
17. 48 টি রসগোল্লা ও 64 টি সন্দেশ কোনোটি না ভেঙে সবচেয়ে বেশি কতজনকে সমান সংখ্যায় দেওয়া যাবে দেখি।
উত্তরঃ
প্রদত্তঃ রসগোল্লা = 48, সন্দেশ = 64
সবচেয়ে বেশি সংখ্যক ব্যক্তিকে সমানভাবে দিতে হলে 48 ও 64-এর গ.সা.গু. বের করতে হবে।
48 = 2^4 \times 3
64 = 2^6
অতএব,
গ.সা.গু. = 2^4 = 16
অতএব, সবচেয়ে বেশি 16 জনকে সমান সংখ্যায় রসগোল্লা ও সন্দেশ দেওয়া যাবে।
প্রতিজন পাবে —
রসগোল্লা = 48 \div 16 = 3
সন্দেশ = 64 \div 16 = 4
অতএব, প্রতিজন 3টি রসগোল্লা ও 4টি সন্দেশ পাবে।
18. বিভাস ও তার বন্ধুরা মিলে 8 জন অথবা 10 জন করে সদস্য নিয়ে নাটকের একটি দল তৈরির কথা ভাবল।
উত্তরঃ
বিভাস ও তার বন্ধুরা যদি 8 জন অথবা 10 জন করে সদস্য নিয়ে দল তৈরি করতে চায়,
তবে দলের মোট সদস্যসংখ্যা 8 ও 10 উভয় সংখ্যার গুণিতক হতে হবে।
অতএব, আমাদের 8 ও 10-এর ল.সা.গু. বের করতে হবে।
8 = 2^3, 10 = 2 \times 5
ল.সা.গু. = 2^3 \times 5 = 8 \times 5 = 40
অতএব, বিভাস ও তার বন্ধুরা মোট 40 জন নিয়ে একটি দল তৈরি করতে পারবে,
যাতে 8 জন অথবা 10 জন করে ভাগ করা সম্ভব হয়।
19. যদুনাথ বিদ্যালয়ের স্কুলের ষষ্ঠ শ্রেণির ছাত্রছাত্রীরা, স্কুলের বাগানে লাগানোর জন্য পঞ্চায়েত থেকে ফুলগাছের চারা পেয়েছে। হিসাব করে দেখা গেল চারাগুলিকে 20 টি, 24 টি বা 30 টি সারিতে লাগালে প্রতিক্ষেত্রে প্রতিসারিতে সমান চারা থাকে। পঞ্চায়েত থেকে কমপক্ষে কতগুলি চারা পাঠিয়েছিল হিসাব করে দেখ।
উত্তরঃ
প্রদত্ত সংখ্যাগুলি হলো 20, 24 ও 30।
প্রতিটি ক্ষেত্রেই চারা সমানভাবে বসানোর জন্য মোট চারার সংখ্যা হবে এই তিনটি সংখ্যার ল.সা.গু.।
20 = 2^2 \times 5
24 = 2^3 \times 3
30 = 2 \times 3 \times 5
অতএব,
ল.সা.গু. = 2^3 \times 3 \times 5 = 8 \times 3 \times 5 = 120
অতএব, পঞ্চায়েত থেকে কমপক্ষে 120 টি চারা পাঠানো হয়েছিল।
20. একটি ইঞ্জিনের সামনের চাকায় পরিধি 14 ডেসিমি এবং পিছনের চাকায় পরিধি 35 ডেসিমি। কমপক্ষে কত পথ গেলে চাকা দুটি একই সঙ্গে পূর্ণসংখ্যক বার ঘোরা সম্পূর্ণ ঘুরবে হিসাব কর।
উত্তরঃ
প্রদত্তঃ
সামনের চাকায় পরিধি = 14 ডেসিমি
পিছনের চাকায় পরিধি = 35 ডেসিমি
দুটি চাকা একসঙ্গে পূর্ণসংখ্যক বার ঘুরে আসবে এমন ক্ষুদ্রতম দূরত্ব হবে
এই দুই পরিধির ল.সা.গু.।
14 = 2 \times 7
35 = 5 \times 7
অতএব,
ল.সা.গু. = 2 \times 5 \times 7 = 70
অতএব, ইঞ্জিনটি কমপক্ষে 70 ডেসিমিটার পথ গেলে
দুটি চাকা একই সঙ্গে সম্পূর্ণ সংখ্যক বার ঘুরবে।
21. আমি প্রতিক্ষেত্রে দুটি করে সংখ্যা লিখি যাদের —
(a) গ.সা.গু. 7 (b) ল.সা.গু. 12 (c) গ.সা.গু. □ (এক অঙ্কের সংখ্যা বসাও)
(d) ল.সা.গু. □ (এক অঙ্কের সংখ্যা বসাও)
উত্তরঃ
(a) গ.সা.গু. 7
যাদের গ.সা.গু. 7 হতে পারে — 7 ও 14
অতএব, সংখ্যা দুটি — 7 ও 14
(b) ল.সা.গু. 12
যাদের ল.সা.গু. 12 হতে পারে — 3 ও 4
অতএব, সংখ্যা দুটি — 3 ও 4
(c) গ.সা.গু. 5 (এক অঙ্কের সংখ্যা)
যাদের গ.সা.গু. 5 হতে পারে — 5 ও 10
অতএব, সংখ্যা দুটি — 5 ও 10
(d) ল.সা.গু. 9 (এক অঙ্কের সংখ্যা)
যাদের ল.সা.গু. 9 হতে পারে — 3 ও 9
অতএব, সংখ্যা দুটি — 3 ও 9
আমাদের লক্ষ্য সবসময় শিক্ষার্থীদের জন্য সঠিক ও নির্ভুল তথ্য প্রদান করা। তবুও অনিচ্ছাকৃতভাবে কোনো ভুল হয়ে গেলে, আমরা চাই সেটি যেন দ্রুত সংশোধন করা হয়।
যদি উপরের পোস্টটিতে কোনো ভুল বা অসঙ্গতি খুঁজে পান, অনুগ্রহ করে মন্তব্যে জানাবেন। আপনার সহযোগিতা আমাদের জন্য অমূল্য — কারণ আমরা চাই না কোনো শিক্ষার্থী ভুল শিখুক।
মনে রাখবেন: আপনার দেওয়া ছোট্ট একটি মন্তব্য অনেকের শেখার পথ সঠিক রাখতে সাহায্য করবে।
