Class 12 Semester 3 Mathematics Chapter 01 MCQ Question Answer
উচ্চমাধ্যমিক দ্বাদশ শ্রেণীর সেমিস্টার ৩ এর গণিতের প্রথম অধ্যায় থেকে বহুবিকল্পধর্মী প্রশ্ন (MCQ) শিক্ষার্থীদের পরীক্ষার প্রস্তুতির জন্য অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ। এখানে আমরা অধ্যায়ভিত্তিক MCQ প্রশ্ন ও উত্তর তুলে ধরেছি, যা শিক্ষার্থীদের অধ্যায়ের মূল ধারণা পরিষ্কার করতে ও বোর্ড পরীক্ষায় ভালো নম্বর পেতে সাহায্য করবে।
1. f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\; g:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\; f(x)=x+2,\; (g\circ f)(x)=x^2-2x+5.\; g(x)=\;?
(g \circ f)(x) = g(f(x))
বা, g(f(x)) = g(x+2) = x^2 - 2x + 5
এবার y = x+2 \;\Rightarrow\; x = y-2
সুতরাং,
g(y) = (y-2)^2 - 2(y-2) + 5
= (y^2 - 4y + 4) - (2y - 4) + 5
= y^2 - 6y + 13
\therefore\; g(x) = x^2 - 6x + 13
2. S=\{a,b,c\} হলে, S সেটে মোট বিনিময়যোগ্য (commutative) দ্বিপদ প্রক্রিয়ার সংখ্যা হবে—
একটি সেট S-এর ওপর দ্বিপদ প্রক্রিয়া সংজ্ঞায়িত হয় একটি mapping হিসাবে:
*: S \times S \to S
এখানে |S| = 3
তাহলে |S \times S| = 3^2 = 9 ordered pair থাকবে।
প্রতিটি ordered pair এর জন্য 3 টি সম্ভাব্য মান নির্ধারণ করা যাবে।
তাহলে মোট দ্বিপদ প্রক্রিয়ার সংখ্যা হবে
3^9
কিন্তু আমাদের চাই **বিনিময়যোগ্য (commutative)** প্রক্রিয়ার সংখ্যা।
কমিউটেটিভ হলে
a*b = b*a
অতএব, ordered pair গুলোকে symmetric আকারে একত্র করতে হবে।
এখানে 9 টি ordered pair আছে, যেগুলো symmetric করলে unique pair পাওয়া যাবে:
(a,a), (b,b), (c,c),
(a,b)/(b,a), (a,c)/(c,a),
(b,c)/(c,b)
অর্থাৎ মোট 6 টি আলাদা case।
প্রতিটির জন্য 3 সম্ভাবনা।
তাহলে মোট কমিউটেটিভ প্রক্রিয়ার সংখ্যা হবে:
3^6 = 729
অতএব সঠিক উত্তর: 3^6।
3. যদি g(x)=x^2+x-2 এবং (g \circ f)(x)=2(2x^2-5x+2) হয়, তবে f(x)=?
আমরা জানি,
(g \circ f)(x) = g(f(x)) = (f(x))^2 + f(x) - 2
প্রশ্নে দেওয়া আছে:
g(f(x)) = 2(2x^2 - 5x + 2) = 4x^2 - 10x + 4
এখন ধরি f(x)=2x-3
g(f(x)) = (2x-3)^2 + (2x-3) - 2
= (4x^2 - 12x + 9) + (2x - 3) - 2
= 4x^2 - 10x + 4
যা প্রদত্ত (g \circ f)(x)-এর সমান।
অতএব, f(x)=2x-3
4. ধরা যাক, R বাস্তব সংখ্যার সেট এবং A সেটের ওপর সম্পর্ক B সংজ্ঞায়িত:
B=\{(a,b):\,a-b \lt 3,\; a,b\in R\} তাহলে B সম্পর্কটি কেমন?
**কেন স্বসম (Reflexive):
(a,a)\in B কারণ a-a=0 \lt 3 — সব a\in R-এর জন্য সত্য।
**প্রতিসম (Symmetric) নয় —
ধরা যাক a-b=-10 (যেমন a=0,\,b=10)। তবে a-b=-10 \lt 3 ⇒ (a,b)\in B,
কিন্তু b-a=10 \not\lt 3 ⇒ (b,a)\notin B। তাই প্রতিসম নয়।
**সংক্রমণ (Transitive) নয় —
ধরা যাক a-b=2 ও b-c=2 (যেমন a=4,\,b=2,\,c=0)।
তবে (a,b)\in B ও (b,c)\in B, কিন্তু a-c=4 \not\lt 3 ⇒ (a,c)\notin B। তাই সংক্রমণ নয়।
**সমতুল্যতা (Equivalence) নয় —
সমতুল্য হতে হলে Reflexive + Symmetric + Transitive — তিনটিই লাগবে। এখানে কেবল Reflexive আছে, বাকি দুটি নেই।
অতএব, সম্পর্ক B হলো কেবলমাত্র স্বসম (Reflexive)
5. যদি A=\{1,2,3\} হয়, তবে A সেটে মোট কতগুলো দ্বিপদ প্রক্রিয়া সংজ্ঞায়িত হবে?
ব্যাখ্যা:
একটি দ্বিপদ প্রক্রিয়া হলো একটি mapping:
*:A \times A \to A
এখানে |A|=3
তাহলে |A \times A| = 3 \times 3 = 9 ordered pair থাকবে।
প্রতিটি ordered pair এর জন্য 3 টি সম্ভাব্য মান নির্ধারণ করা যাবে।
অতএব মোট দ্বিপদ প্রক্রিয়ার সংখ্যা হবে: 3^9
6. f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} দ্বারা সংজ্ঞায়িত f(x)=\sqrt{x} হলে, f চিত্রণটি কেমন হবে?
**ব্যাখ্যা:**
– বাস্তবে, f(x)=\sqrt{x} কেবলমাত্র x \geq 0-এর জন্য সংজ্ঞায়িত।
অর্থাৎ এর প্রকৃত domain হলো [0,\infty)।
– যদি domain ধরা হয় [0,\infty) এবং codomain ধরা হয় [0,\infty), তবে:
– Injective (এক-এক): f(x_1)=f(x_2) \implies x_1=x_2, তাই এটি এক-এক।
– Onto (অন্তচিত্রণ): y \geq 0 \implies f(y^2)=y, তাই codomain-এর প্রতিটি মান পাওয়া যায়।
– সুতরাং এটি একসাথে এক-এক এবং অন্তচিত্রণ ⇒ Bijective (উপরিচিত্রণ) ✅
Extra Note:
যদি domain পুরো \mathbb{R} ধরা হয়, তবে ঋণাত্মক x-এর জন্য f(x)=\sqrt{x} সংজ্ঞায়িত নয়।
তাহলে এটি আদৌ চিত্রণ (function) হবে না।
অতএব, সঠিকভাবে [0,\infty)\to [0,\infty) নিলে f(x)=\sqrt{x} হলো উপরিচিত্রণ (Bijective)
7. f(x)=\log_{10}\!\big(\sqrt{x-2}+\sqrt{3-x}\big) এর অপেক্ষকের সংজ্ঞা-অঞ্চল (domain) কোনটি?
কারণ:
– বর্গমূলের জন্য দরকার: x-2 \geq 0 \;\Rightarrow\; x \geq 2 এবং 3-x \geq 0 \;\Rightarrow\; x \leq 3 ⟹ x \in [2,3]।
– লগের জন্য আর্গুমেন্ট ধনাত্মক: \sqrt{x-2}+\sqrt{3-x} \gt 0
প্রান্তবিন্দুতে: x=2 \Rightarrow \sqrt{0}+\sqrt{1}=1 \gt 0, x=3 \Rightarrow \sqrt{1}+\sqrt{0}=1 \gt 0 — গ্রহণযোগ্য।
অতএব domain হলো [2,3]
8. ধরা যাক, f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} অপেক্ষকযুগল যথাক্রমে f(x)=x^2+2x+3 এবং g(x)=x+1 দ্বারা সংজ্ঞায়িত। তাহলে কোন x-এর জন্য f(g(x))=g(f(x)) হবে?
সমাধান:
প্রথমে হিসাব করি f(g(x)):
f(g(x)) = f(x+1) = (x+1)^2 + 2(x+1) + 3
= x^2 + 2x + 1 + 2x + 2 + 3
= x^2 + 4x + 6
এবার হিসাব করি g(f(x)):
g(f(x)) = g(x^2+2x+3) = (x^2+2x+3) + 1
= x^2 + 2x + 4
এখন সমীকরণ করি:
f(g(x)) = g(f(x))
\;\;\; \Rightarrow x^2 + 4x + 6 = x^2 + 2x + 4
\;\;\; \Rightarrow 4x+6 = 2x+4
\;\;\; \Rightarrow 2x = -2
\;\;\; \Rightarrow x = -1
সুতরাং সঠিক উত্তর হলো -1
9. ধরা যাক, S=\{1,2,3,4\} এবং T=\{a,b\}। S থেকে T-তে কতগুলো উপরিচিত্রণ (onto maps / surjective functions) সম্ভব?
ধাপে ধাপে সমাধান:
1. মোট function-এর সংখ্যা:
f:S\to T হলে প্রতিটি উপাদানকে 2 ভাবে পাঠানো যায় (a বা b)।
অতএব, মোট function সংখ্যা: 2^4 = 16।
2. এখন, onto function হতে হলে T-এর প্রতিটি উপাদান (a, b) অন্তত একবার image হতে হবে।
3. onto নয় এমন case:
– যদি S-এর সব element ‘a’-তে map হয়, তবে function মাত্র 1টি।
– যদি S-এর সব element ‘b’-তে map হয়, তবুও function মাত্র 1টি।
অতএব onto নয় এমন function সংখ্যা = 2।
4. সুতরাং onto function সংখ্যা = 16 - 2 = 14।
✅ চূড়ান্ত উত্তর: 14
10. ধরা যাক, A=\{1,2,3\} সেটের ওপর একটি সম্পর্ক R=\{(1,2),(2,3),(3,1)\} সংজ্ঞায়িত। তাহলে সম্পর্ক R কেমন?
পরীক্ষা:
– স্বসম (Reflexive): Reflexive হতে হলে (1,1),(2,2),(3,3) — সব relation-এ থাকতে হবে। কিন্তু এগুলো নেই।
❌ তাই Reflexive নয়।
– প্রতিসম (Symmetric): যদি (a,b)\in R, তবে (b,a)\in R থাকতে হবে। যেমন (1,2)\in R, কিন্তু (2,1)\notin R।
❌ তাই Symmetric নয়।
– সংক্রমণ (Transitive): যদি (a,b)\in R এবং (b,c)\in R, তবে (a,c)\in R থাকতে হবে। এখানে (1,2)\in R এবং (2,3)\in R ⇒ (1,3) থাকা উচিত, কিন্তু নেই।
❌ তাই Transitive নয়।
অতএব, সম্পর্কটি কোনোটিই নয়
11. যদি f(x) ও g(x) যথাক্রমে যুগ্ম (even) ও অযুগ্ম (odd) অপেক্ষক হয়, তবে \tfrac{f(x)}{g(x)} কেমন হবে?
কারণ:
– f(x) যুগ্ম ⇒ f(-x)=f(x)
– g(x) অযুগ্ম ⇒ g(-x)=-g(x)
এখন,
\frac{f(-x)}{g(-x)}=\frac{f(x)}{-g(x)}=-\frac{f(x)}{g(x)}
অতএব, \tfrac{f(x)}{g(x)} একটি অযুগ্ম (Odd) function
12. একটি সসীম সেট A-তে x সংখ্যক উপাদান আছে। A থেকে A-তেই সংজ্ঞায়িত অপেক্ষকের সংখ্যা কত?
ব্যাখ্যা: f:A\to A হলে, A-এর প্রতিটি উপাদানের জন্য মান বেছে নেওয়ার xটি করে উপায় আছে। মোট উপায় x \times x \times \cdots \times x = x^x।
13. A=\{x,y,z\} থেকে B=\{m,n\} সেটে মোট সম্পর্ক (relation)-এর সংখ্যা কত?
ব্যাখ্যা:
একটি relation হলো A \times B-এর একটি subset।
এখানে |A|=3, |B|=2।
অতএব, |A \times B| = 3 \times 2 = 6 ordered pair থাকবে।
প্রতিটি ordered pair relation-এ থাকবে বা থাকবে না – 2টি সম্ভাবনা।
সুতরাং মোট relation-এর সংখ্যা হবে 2^6
14. যদি A=\{1,2,3\} এবং B=\{p,q\} হয়, তবে A থেকে B-তে মোট কতগুলো function সম্ভব?
সমাধান:
যেহেতু |A|=3 এবং |B|=2,
মোট function সংখ্যা = |B|^{|A|}=2^3=8।
15. ধরা যাক, সমস্ত বাস্তব সংখ্যার সেট R-এ f:R\to R ও g:R\to R দুটি চিত্রণ সংজ্ঞায়িত হলো:
f(x)=5-x^2 এবং g(x)=3x-4।
তাহলে (f\circ g)(-1)-এর মান কত?
ব্যাখ্যা:
প্রথমে g(-1) নির্ণয় করি:
g(-1)=3(-1)-4=-3-4=-7
এখন,
(f\circ g)(-1)=f(g(-1))=f(-7)
অতএব, (f\circ g)(-1)=-44।
16. সমস্ত বাস্তব সংখ্যার সেট R-এর ওপর দুটি অপেক্ষক সংজ্ঞায়িত:
f(x)=\cos x এবং g(x)=x^2।
তাহলে (f\circ g)(x) কত হবে?
ব্যাখ্যা:
(f\circ g)(x)=f(g(x))=f(x^2)
এখন, f(t)=\cos t হলে f(x^2)=\cos(x^2)।
অতএব, (f\circ g)(x)=\cos(x^2)।
17. যদি A সেটে m সংখ্যক ভিন্ন উপাদান এবং B সেটে n সংখ্যক ভিন্ন উপাদান থাকে, তবে A থেকে B-তে মোট কতগুলো ভিন্ন সম্পর্ক (relation) সংজ্ঞায়িত করা যায়?
ব্যাখ্যা:
একটি relation হলো A \times B-এর একটি subset।
এখানে |A|=m, |B|=n।
তাহলে |A \times B| = m \times n ordered pair থাকবে।
প্রতিটি ordered pair relation-এ থাকবে বা থাকবে না, অর্থাৎ 2টি করে উপায়।
অতএব মোট relation-এর সংখ্যা হবে 2^{mn}।
18. ধরা যাক, R=\{(3,9),(3,12),(4,8),(4,12),(5,10),(6,12)\} একটি প্রদত্ত সম্পর্ক। তাহলে R-এর ক্ষেত্র (domain of R) কত?
ব্যাখ্যা:
কোনো সম্পর্কের ক্ষেত্র (domain) হলো ordered pair-গুলির প্রথম উপাদানগুলির সেট।
এখানে R-এ ordered pair গুলো হলো:
(3,9),(3,12),(4,8),(4,12),(5,10),(6,12)।
প্রথম উপাদানগুলো: \{3,4,5,6\}।
অতএব domain হলো \{3,4,5,6\}।
19. ধরা যাক, R=\{(3,9),(3,12),(4,8),(4,12),(5,10),(6,12)\} একটি প্রদত্ত সম্পর্ক। তাহলে R-এর পাল্লা (range of R) কত?
ব্যাখ্যা:
কোনো সম্পর্কের পাল্লা (range) হলো ordered pair-গুলির দ্বিতীয় উপাদানগুলির সেট।
এখানে R-এ ordered pair গুলো হলো:
(3,9),(3,12),(4,8),(4,12),(5,10),(6,12)।
দ্বিতীয় উপাদানগুলো: \{9,12,8,12,10,12\}=\{8,9,10,12\}।
অতএব পাল্লা হলো \{8,9,10,12\}।
20. যদি A সেট থেকে B সেটের ওপর একটি সম্পর্ক R সংজ্ঞায়িত হয়, তবে নিচের কোনটি সত্য?
ব্যাখ্যা:
A থেকে B-এর ওপর একটি সম্পর্ক হলো A \times B-এর একটি উপসেট।
অর্থাৎ প্রতিটি relation ordered pair আকারে হয়, যেখানে প্রথম উপাদান A থেকে এবং দ্বিতীয় উপাদান B থেকে আসে।
অতএব, R \subseteq A \times B।
21. A=\{1,2,3\} সেট থেকে B=\{4,5\} সেটে মোট সম্পর্ক (relation)-এর সংখ্যা কত?
ব্যাখ্যা:
একটি relation হলো A \times B-এর একটি উপসেট।
এখানে |A|=3, |B|=2।
তাহলে |A \times B| = 3 \times 2 = 6 ordered pair থাকবে।
প্রতিটি ordered pair relation-এ থাকবে বা থাকবে না ⇒ 2টি সম্ভাবনা।
সুতরাং মোট relation সংখ্যা = 2^6।
22. ধরা যাক, A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\} সেটের ওপর একটি সম্পর্ক R সংজ্ঞায়িত হলো, যেখানে xRy \Leftrightarrow y=3x। তাহলে R কী হবে?
ব্যাখ্যা:
শর্ত অনুযায়ী xRy \iff y=3x।
– x=1 \implies y=3 \;\Rightarrow\; (1,3)
– x=2 \implies y=6 \;\Rightarrow\; (2,6)
– x=3 \implies y=9 \;\Rightarrow\; (3,9)
– x \geq 4 \implies y=3x \gt 9, যা A-তে নেই।
অতএব R=\{(1,3),(2,6),(3,9)\}।
প্রদত্ত অপশনগুলির মধ্যে এটি নেই, তাই উত্তর হলো “এদের কোনোটি নয়”।
23. মনে করো, A=\{-2,1,0,-1\}, B=\{-6,-5,-3,0\} এবং f:A \to B চিত্রণ f(x)=2x^2+x-6 দ্বারা সংজ্ঞাত।
তাহলে (-2)-এর প্রতিচিত্র কত হবে?
সমাধান:
f(-2)=2(-2)^2+(-2)-6
=2(4)-2-6
=8-2-6
=0
অতএব, (-2)-এর প্রতিচিত্র হলো 0।
24. মনে করো, অখণ্ড সংখ্যাসমূহের সেট \mathbb{Z} এবং f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z} চিত্রণ f(x)=2x-1 দ্বারা সংজ্ঞাত।
তাহলে \{x: f(x)=3\} সেটটির মান কত?
সমাধান:
শর্ত অনুযায়ী f(x)=3 হলে,
2x-1=3
\;\;\;\Rightarrow 2x=4
\;\;\;\Rightarrow x=2
অতএব, সেটটি হলো \{2\}।
25. যদি একটি ফাংশন f এর জন্য f(x+2)=2x^2-3x+5 হয়, তবে f(1)-এর মান নির্ণয় করো।
সমাধান:
আমরা জানি f(x+2)=2x^2-3x+5।
f(1) বের করার জন্য x+2=1 \implies x=-1 নিতে হবে।
তাহলে,
f(1)=2(-1)^2 - 3(-1) + 5
= 2(1) + 3 + 5
= 10।
অতএব, সঠিক উত্তর হলো 10।
26. যদি কোনো ফাংশন f-এর জন্য 2f(x)+3f(-x)=15-4x দেওয়া থাকে, তবে f(1)+f(-1)-এর মান কত হবে?
সমাধান:
প্রথমে x=1 বসাই:
2f(1)+3f(-1)=15-4(1)=11 … (1)
এবার x=-1 বসাই:
2f(-1)+3f(1)=15-4(-1)=19 … (2)
(1) এবং (2) যোগ করলে,
(2f(1)+3f(-1))+(2f(-1)+3f(1))=11+19
5f(1)+5f(-1)=30
f(1)+f(-1)=6
অতএব, সঠিক উত্তর হলো 6।
27. ধরা যাক f(x)=\log_3 x এবং \varphi(x)=x^2।
তাহলে f(\varphi(3))-এর মান কত হবে?
সমাধান:
\varphi(3)=3^2=9
অতএব,
f(\varphi(3))=f(9)=\log_3 9
=\log_3 (3^2)=2
সুতরাং সঠিক উত্তর হলো 2।
28. একটি ফাংশন f(x)=3x-9 দ্বারা সংজ্ঞায়িত।
তাহলে f(x^2-1)-এর মান নির্ণয় করো।
সমাধান:
f(x)=3x-9 দেওয়া আছে।
এখন,
f(x^2-1)=3(x^2-1)-9
=3x^2-3-9
=3x^2-12
অতএব সঠিক উত্তর হলো 3x^2-12।
29. নিচের কোন বিবৃতিটি সঠিক হবে?
সমাধান:
দেওয়া সমীকরণটি হলো y^3-3y^2-2x+11=0।
এখান থেকে x-কে এককভাবে প্রকাশ করা যায়:
x=\tfrac{y^3-3y^2+11}{2}
এখানে প্রতিটি y-এর জন্য একটি নির্দিষ্ট x পাওয়া যায়।
তাই এটি একটি ফাংশনকে প্রকাশ করে।
অতএব সঠিক উত্তর হলো option C।
30. যদি f(x)=4^x দ্বারা একটি ফাংশন সংজ্ঞায়িত হয়, তবে f(\log_4 x)-এর মান কত হবে?
সমাধান:
f(x)=4^x দেওয়া আছে।
তাহলে,
f(\log_4 x)=4^{\log_4 x}
লগের গুণগত নিয়ম অনুযায়ী,
4^{\log_4 x}=x।
অতএব, সঠিক উত্তর হলো x।
31. একটি ফাংশন f এর জন্য 3f(x)+2f(-x)=5(x-2) দেওয়া আছে।
এখন f(0)-এর মান নির্ণয় করো।
সমাধান:
সমীকরণটি হলো: 3f(x)+2f(-x)=5(x-2)
এখন x=0 বসালে পাই:
3f(0)+2f(0)=5(0-2)
5f(0)=-10
f(0)=-2
অতএব সঠিক উত্তর হলো -2।
32. কোন ডোমেইনে f(x)=x এবং \varphi(x)=\pm \sqrt{x^2} একে অপরের সমান হবে?
সমাধান:
আমরা জানি \sqrt{x^2} = |x|।
তাহলে \pm \sqrt{x^2} = \pm |x|।
এখন, f(x)=x অভিন্ন হতে হলে, x \geq 0 হলে |x|=x ⇒ উভয়ই সমান।
অতএব, সঠিক ডোমেইন হলো 0 \leq x \lt \infty।
33. যদি f(x-1)=7x-5 দেওয়া থাকে, তবে f(x)-এর মান নির্ণয় করো।
সমাধান:
দেওয়া আছে f(x-1)=7x-5।
ধরি t=x-1 \;\Rightarrow\; x=t+1।
তাহলে,
f(t)=7(t+1)-5
=7t+7-5
=7t+2
অতএব, f(x)=7x+2।
34. যদি f(x)=\sqrt{x+3} হয়, তবে এর সংজ্ঞা-অঞ্চল (domain) কী হবে?
সমাধান:
f(x)=\sqrt{x+3} সংজ্ঞায়িত হওয়ার জন্য,
x+3 \geq 0 \;\;\Rightarrow\;\; x \geq -3।
অতএব, domain হলো [-3,\infty)।
